Somma di equazioni di secondo grado

[Marco V]

Nel caso in cui io avessi:
$ sum_(x=1)^5z_x^2+z_x+a_x=0 $

potrei risolvere semplicemente $ z_1^2+z_1+a_1=0 $ e poi sommare la soluzione generalizzata?
sarebbe valida?

[dissonance]

Se fosse vero, avendo
\[
x_1^2+x_2^2-2=0,\]
potresti concludere che le uniche soluzioni sono \(x_1=\pm 1\) e \(x_2=\pm 1\), ma non è vero, perché le soluzioni formano una circonferenza di raggio \(\sqrt 2\).

[Marco V]

E come si potrebbe risolvere una siffatta relazione?

[gugo82]

Da un'equazione in cinque incognite mi aspetto tante soluzioni.
In particolare, mi aspetto che una delle incognite si possa esprimere in funzione delle altre quattro, sotto opportune condizioni.

[Marco V]

Da un'equazione in cinque incognite mi aspetto tante soluzioni.
In particolare, mi aspetto che una delle incognite si possa esprimere in funzione delle altre quattro, sotto opportune condizioni.

tipo?

[gugo82]

Tipo fai i conti e vedi che viene fuori.
Se non riesci con cinque incognite, prova prima con due; poi generalizza.

[Marco V]

Tipo fai i conti e vedi che viene fuori.
Se non riesci con cinque incognite, prova prima con due; poi generalizza.

Dato che a me interessa la somma delle soluzioni, se calcolassi le soluzioni di ogni equazione di secondo grado, la elevassi al quadrato, la sommassi con le altre soluzioni e poi, solo allora le ponessi sotto una unica radice? secondo te sarebbe valida?
seguendo il tuo esempio le soluzioni coincidono.

[gugo82]

No.
Semplicemente perché non è vero che le soluzioni di quella roba lì sono solo le soluzioni delle cinque equazioni che dici.

Qual è il problema di partenza?
Perché non stai scrivendo tutto quel che serve per risolvertelo, immagino...

[Marco V]

No.
Semplicemente perché non è vero che le soluzioni di quella roba lì sono solo le soluzioni delle cinque equazioni che dici.

Qual è il problema di partenza?
Perché non stai scrivendo tutto quel che serve per risolvertelo, immagino...

Ho una equazione che ho ridotto esattamente alla forma dell'equazione iniziale solo che invece di 5 ho n... ecco il problema

[gugo82]

Facciamo il caso di tre incognite, tanto per capirci.

Insomma, chiamando le incognite $z_1,z_2,z_3$ abbiamo:
\[
(z_1^2 + z_1 + a_1) + (z_2^2 + z_2 + a_2) + (z_3^2 + z_3 + a_3) = 0\; ,
\]
la quale può essere pensata coma equazione nella sola incognita $z_3$: tale equazione è di secondo grado ed ha soluzioni reali solo se il suo discriminante è $Delta_3 >=0$. Imponendo $Delta_3 >=0$ si trova la condizione:
\[
1-4 \Big( a_3+ (z_1^2 + z_1 + a_1) + (z_2^2 + z_2 + a_2)\Big) \geq 0
\]
sotto la quale l'equazione riesce a definire la $z_3$ come funzione delle rimanenti due incognite attraverso la classica formula risolutiva dell'equazione di secondo grado:
\[
z_3 = \frac{-1\pm \sqrt{\Delta_3}}{2}\; .
\]
Il problema è stabilire se la condizione $Delta_3 >= 0$ individua una regione non vuota del piano $Oz_1z_2$; dato che essa si riscrive:
\[
4z_2^2 + 4z_2 + \Big(4a_2 -1+ 4a_3+ 4(z_1^2 + z_1 + a_1)\Big) \leq 0
\]
è evidente che la regione individuata dalla disequazione non è vuota solo se il discriminante $\Delta_2^\prime$ del polinomio al primo membro è $>=0$:
\[
4 - 4\Big(4a_2 -1+ 4a_3+ 4(z_1^2 + z_1 + a_1)\Big) \geq 0\; ;
\]
soddisfatta tale condizione, si ottiene:
\[
\underbrace{\frac{-2-\sqrt{\Delta_2^\prime}}{4}}_{=: \alpha(z_1)} \leq z_2\leq \underbrace{\frac{-2+\sqrt{\Delta_2^\prime}}{4}}_{=:\beta (z_1)}\; .
\]
La condizione $Delta_2^\prime >= 0$ è soddisfatta solo se il discriminante $Delta_1^{\prime \prime}$ del polinomio al primo membro è $>=0$ e ciò accade solo se $a_1+a_2+a_3<=3/4$ ed in tal caso ti fornisce $z_1$ in un certo intervallo chiuso (i cui estremi $x<=y$ dipendono da $a_1,a_2,a_3$ e te li calcoli da solo ).

Dunque, la tua equazione ha soluzioni date dai punti del tipo $(z_1,z_2, \frac{-1\pm \sqrt{\Delta_3}}{2})$ con $x<=z_1<=y$ e $alpha(z_1)<= z_2 <=beta(z_1)$.

Il procedimento per il calcolo delle soluzioni si generalizza, con difficoltà crescenti col numero di variabili, al caso generale.

Tuttavia, se ti interessa la somma delle soluzioni dell'equazione, essa è sempre $-1$.
Infatti, come noto dalle scuole secondarie, la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado coincide con l'opposto del coefficiente del termine di grado $1$: nel caso in esame, essa coincide coll'opposto del coefficiente di $z_3$, i.e. l'opposto di $1$.