Un corpo puntiforme di massa $m = 4 kg$ si muove nel piano verticale lungo una guida semi-circolare di raggio $R = 0.8 m$, senza mai staccarsi da essa. La guida è per metà scabra (prima parte) e per metà liscia (seconda parte), ed è appoggiata al piano orizzontale.
Il corpo parte da fermo dal punto A posto alla sommità della guida e raggiunge il punto C, posto al fondo di essa, con velocità $v_0 =3.2 m/s$ .
Lì urta centralmente un corpo puntiforme di massa $M = 12 kg$, inizialmente in quiete. L’urto tra i due corpi è perfettamente elastico. Determinare in un sistema di riferimento opportuno, con origine nel punto O, centro del profilo semi-circolare:
a) il lavoro totale delle forze agenti sul corpo di massa m in corrispondenza allo spostamento
tra la posizione iniziale e il fondo del profilo, prima dell’urto con il corpo di massa M;
b) il lavoro della forza di attrito in corrispondenza di tale spostamento del corpo;
c) la reazione $N_p$ della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;
d) le velocità $V_m$ e $V_M$ dei due corpi subito dopo l'urto;
e) l’energia cinetica interna $E_{K,INT}$ del sistema subito dopo l'urto.
f) l'altezza massima raggiunta dal corpo di massa M dopo l'urto, rispetto al piano orizzontale;
g) la forza che la guida circolare applica al corpo di massa M nel punto di arresto;
h) l’accelerazione angolare $\vec{\alpha}$ del corpo di massa M nel punto di arresto.
Il pedice $d$, tipo $E_{K,INT,d}$ indice l'istante "successivo".
a) Poiché agiscono forze dissipative, non vale la conservazione dell'energia meccanica. Vale però che $W_{A,C}=\Delta E_{K}$.
Perciò il lavoro $W_{A,C}=\frac{1}{2} m v_0^2$.
b) Il lavoro delle forze non conservative è dato dalla variazione di energia meccanica, perciò $W_{\text{attr}}=\frac{1}{2} m v_0^2 - mgR$.
c) Immediatamente prima dell'urto si ha che sulla massa m vale, fissato un sistema di coordine $u_N, u_{T}$:
$N - mg=m \frac{v_0^2}{R}$
, da cui $N=m(frac{v_{0}^{2}}{R} + g) \mathbf{u_N}$
d) In un urto elastico, si ha la conservazione dell'energia cinetica interna e della quantità di moto durante l'urto. Perciò, mettendo a sistema queste due condizioni, si ricava che
$V_{m,d}=\frac{(m-M)v_0}{M+m} \mathbf{u_{T}}$, velocità di m dopo l'urto. E' negativa, perciò, com'era lecito aspettarsi, si muove in verso opposto a M.
$V_{M,d}=\frac{2m v_0}{M+m} \mathbf{u_{T}}$.
e) Si ha la conservazione dell'energia cinetica interna, che è $E_{K,INT,d}=\frac{1}{2} m V_{m}^{2} + \frac{1}{2} M V_{M}^{2}$.
Facendo i conti è effettivamente uguale all'energia cinetica interna prima dell'urto $E_{K,INT,p}=\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$
f) Poiché la seconda parte della guida è liscia, ora vale la conservazione dell'energia e pertanto
$\frac{1}{2} M V_{M}^{2} = Mg H_{\text{max}}$
da cui
$H_{\text{max}}=\frac{V_{M}^{2}}{2g}$
In questi due ultimi punti, in particolare, mi trovo in difficoltà.
g)
Con punto d'arresto in questo caso si intende il punto in cui arrivo all'altezza massima?
In tal caso si avrebbe
$N- mg \sin(\theta) = m \frac{v_{\text{max}}^2}{R}$
Ma poiché $v_{\text{max}}=0$, allora $N=mg \sin(\theta) \mathbf{u_{N}}$. C'è qualche possibilità di ricavare pure $\theta$?
h) Per l'accelerazione angolare non saprei proprio come fare. $\vec{\alpha}= \frac{\Delta_w}{Delta t}$, ma non credo sia la strada corretta.
Qualche idea?