Bremen000 ha scritto:Vincent46 va benissimo perché non ho scritto che $ f $ è continua, santo cielo!
Ah ottimo, lo sospettavo ma non ne ero sicuro! Il fatto è che sappiamo quanto possano essere controintuitive le funzioni discontinue, quindi mi suonava strano che l'esercizio fosse vero anche senza quest'ipotesi
Riguardo a strade alternative non saprei, perché esercizi del genere urlano Baire da tutte le parti!
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Allora dimostrare la chiusura degli $E_m$ è semplice: si può usare la condizione equivalente di chiusura per successioni.
Punto (b): parto dalla funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ e la modifico nel modo che ora vado a descrivere. Dividiamo $[1, +\infty)$ in intervallini della forma $(1, 2), (2, 4), ..., (2^k, 2^{k+1}), ...$.
Nel $k$-esimo intervallino scegliamo un punto $p_k$ e ridefiniamo $f(p_k) = 1$. Ora dobbiamo raccordare in maniera continua i due pezzi di $f$. Definiamo picco di raccordo $P_k$ come l'intorno di $p_k$ (contenuto interamente nel $k$-esimo intervallino) che contiene i valori di raccordo, ossia tale che i punti dove $f$ passa in maniera continua da $\frac{1}{x}$ a $1$ siano contenuti dentro $P_k$. Ora cancello negli intervallini più a destra tutti gli intervalli della forma $2^j P_k, j \geq 1$. Sono uno per ogni intervallo.
Nel $(k+1)$-esimo intervallino scelgo un punto $p_{k+1}$ che non appartenga all'insieme cancellato. Ridefinisco $f(p_{k+1}) =1$, costruisco il picco di raccordo $P_{k+1}$ e cancello le sue potenze di due dagli intervallini dopo, e così via. Nota bene che è sempre possibile scegliere un punto in questo modo.
Vale senz'altro che $f(2^nx) \to 0$, perché, a $x$ fissato, l'insieme $\{2^n x\}_{n \in \mathbb{N}}$ interseca al più uno solo dei picchi $P_i$, per costruzione.