quesito endomorfismo

[Lawlietz]

Buon giorno a tutti,
vi chiedo aiuto al volo su un quesito a scelta multipla :

"E’ dato un endomorfismo f di $\R^3$ tale che
$\f(pi,3,8) = f(2,1,pi)$

Si indichi l’affermazione corretta.
(a) l’immagine di f ha dimensione 3;
(b) f e suriettivo; `
(c) f ha un autovalore nullo;
(d) il nucleo di f ha dimensione 0
"
Ora, ragionando per esclusione (che però non è il mio obbiettivo) la prima e la seconda sono equivalenti e quindi egualmente false, l'ultima è falsa dal teorema delle dimensioni poichè $\dim Ker(f) =0 => dim(Im (f))= n$ e allora sceglierei la c) (non ho il foglio risposte, ragion per cui se questa scelta fosse sbagliata ditemelo , per favore).
Tuttavia, la vita non è fatta di crocette e vorrei capire quale sia il ragionamento da seguire. Mi è capitato altre volte di imbattermi in quesiti simili, ma il dato iniziale era una uguaglianza fra due vettori della base canonica, cosa che mi permetteva di scrivere parzialmente la matrice associata all'endomorfismo e ragionare su quella. Qui non so come comportarmi.
Grazie in anticipo per la risposta

[Magma]

Buona sera

La tua funzione $f: RR^3-> RR^3$ tale che

$f(a)=f(b), qquad \text{con }a ne b$

prende due vettori distinti e li manda nella stessa immagine, quindi la funzione non può essere iniettiva¹.


Sapresti proseguire ora?

---

Note

1. Una funzione $F: A->B$ è definita iniettiva se
   
   
   $[f(a)=f(b) ]rArr (a=b),qquad AA a, b in A $
   
   equivalentemente se
   
   $(aneb)rArr (f(a)nef(b), qquad AA a,b in A$
   ↑

[Lawlietz]

ed infatti ho escluso l'ultima. Solamente vorrei arrivare in maniera "diretta" ad affermare che ha un autovalore nullo:)

[Magma]

$f:V->V$

$f$ è iniettivo $hArr$ ...?

Per un endomorfismo dire che è iniettivo è equivalente a dire...

[Lawlietz]

Che la dimensione del ker è 0 e che è anche suriettivo e quindi invertibile. Mm mi hai venire in mente che se 0 è un autovalore, allora il determinante della matrice associata è nullo e quindi non invertibile. Se non hai obbiezioni a quanto ho detto, credo di aver capito

[Magma]

Esattamente!

Più immediatamente si ha

$f$ iniettivo $hArr Ker(f)={bar(0)}$

ovvero:

$f$ non iniettivo $hArr$ $dim(Ker(f)) ne 0$ $hArr f$ ha un autovalore nullo

P.S. anche il tuo ragionamento è giusto anche se, secondo me, troppo dispersivo.

[Bokonon]

(a) l’immagine di f ha dimensione 3;
(b) f e suriettivo; `
(c) f ha un autovalore nullo;
(d) il nucleo di f ha dimensione 0

Ragioniamo prima in generale sul concetto di endomorfismo:
La (a) e la (d) sono equivalenti e sarebbe un automorfismo.
La (b) si esclude a priori perchè non è possibile dall'esempio dato che va da $R^3$ in $R^3$. Sarebbe stato possibile solo se la trasformazione fosse ad es da $R^3$ in $R^2$
La (c) è definitivamente compatibile con la definizione di endomorfismo.
Quindi restano tre opzioni.
Dall'esempio sappiamo che un intero piano viene proiettato in una retta.
Quindi la matrice di trasformazione è singolare e questo esclude le opzioni (a) e (d) e conferma l'opzione (c)