Esercizio studio maxmin per f(x) in 2 var su dominio D

[xXFEDERICOXx]

Ciao, probabilmente è per colpa di qualche stupida lacuna che in questo momento non riesco ad identificare ma non riesco a venirne a capo.
Ho questo esercizio:

Calcolare i massimi e minimi della funzione

\( \displaystyle f(x,y) = x^2-4x-y^2 \) nel dominio \( \displaystyle X = \{(x; y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 16\} \) .

Indicare se si tratta di
massimi o minimi relativi o assoluti (e perché).

Ho cominciato facendo il \( \displaystyle \nabla f = 0 \) da cui mi son ricavato il primo punto \( \displaystyle (2,0) \) , che, assieme alla matrice hessiana ho rivelato come punto di sella.

Poi ho definito la funzione lagrangiana per lo studio sulla frontiera con i moltiplicatori di Lagrange:

\( \displaystyle L(x,y,\lambda) = x^2-4x-y^2-\lambda(x^2+y^2-16)) \)

eguagliandone poi a zero la derivata

\( \displaystyle \left\{\begin{matrix}L_x = 0\\L_y = 0\\L_\lambda = 0\end{matrix}\right. \)

Da cui ricavo i seguenti punti:

\( \displaystyle (4,0) \) per il quale \( \displaystyle f(x,y)=0 \)
\( \displaystyle (-4,0) \) per il quale \( \displaystyle f(x,y)=32 \) quindi un massimo assoluto
\( \displaystyle (1,\sqrt{15}) \) per il quale \( \displaystyle f(x,y)=-18 \)
\( \displaystyle (1,-\sqrt{15}) \) per il quale \( \displaystyle f(x,y)=-18 \) quindi due punti di minimo assoluto

Non riesco però a classificare il primo punto, il docente nel suo esercizio svolto dice che non è né punto di massimo né di minimo, mentre io direi che è un punto di massimo relativo dato che la funzione intorno scende.

Cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?

Grazie in anticipo e scusate se magari ho scritto strafalcioni.

Edit: Ho aggiunto il resto del testo dell'esercizio per evitare incomprensioni.

[Vulplasir]

Ma che te ne frega dei punti di massimo e minimo relativo e dei punti di sella? E' un problema di ricerca di ESTREMI ASSOLUTI, com'è che questa cosa non la capisce nessuno? L'Hessiana NON ci serve a niente!

[xXFEDERICOXx]

Ciao, il testo del problema lo chiede espressamente.

“Indicare se si tratta di minimi o massimi assoluti o relativi (e perché)”


e ci sono anche nei dati della soluzione, con annessa classificazione.

[Vulplasir]

Beh il testo è sbagliato, e chi l'ha scritto non ha capito la differenza tra punti estremi e punti critici di una funzione. Se si cercano massimi e minimi si cercano massimi e minimi "assoluti", detti punti di estremo, (quelli relativi NON sono massimi e minimi), quando invece si cercano i "punti critici" allora si cercano i punti di massimo/minimo relativo e i punti di sella. (Da me bocciano all'orale se quando si parla di massimi e minimi uno menziona anche per sbaglio i massimi e minimi relativi).
Quindi l'esercizio chiede di "trovare i punti di estremo e i punti critici della funzione in quel dominio indentificandone la natura" (notare come usando una terminologia corretta si evita ambigutà e prolissità nel testo dell'esercizio).

Comunque, per verificare la natura di un punto critico, non ci sono metodi standard. Sull'interno del dominio si usa il metodo dell'Hessiana (quando non funziona esistono altri metodi che ora non ricordo), sulla frontiera si può passare a una funzione in una sola variabile parametrizzando la frontiera, oppure usare la definizione stessa di punto critico.

Per esempio se vuoi capire la natura di un punto critico in $(x_0, y_0)$, supponi che esso sia un massimo, devi verificare che valga:

$f(x,y)<=f(x_0, y_0)$, per qualsiasi x e y in un intorno di $(x_0,y_0)$, poi procedi a variare le coordinate x e y attorno a x_0, y_0 in un qualche modo, per esempio lineare: $x=x_0+h$, $y=x_0+k$, devi quindi verificare che:

$f(x_0+h, y_0+k)<=f(x_0, y_0)$ per qualsiasi h,k

Se ti trovi sulla frontiera devi mettere l'ulteriore vincolo

$(x_0+h)^2+(y_0+k)^2=16$

[xXFEDERICOXx]

Grazie mille, gentilissimo, è già un po' più chiaro.
La preparazione del docente in effetti non mi è sembrata il massimo e sopratutto molto confusionaria, sapresti darmi il titolo di un libro di testo decente per preparare Analisi II, visto anche che l'unico testo consigliatoci è introvabile e nemmeno in italiano.

[gugo82]

@Vulplasir: Scusa, ma che diamine vai dicendo?

[Vulplasir]

La verità

[xXFEDERICOXx]

Devo sapere qualcosa a riguardo? C'è qualcosa di sbagliato?

[gugo82]

@Vulplasir:

Ho questo esercizio:

Calcolare i massimi e minimi della funzione $f(x,y) = x^2-4x-y^2$ nel dominio $X = \{(x; y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 16\}$.
Indicare se si tratta di massimi o minimi relativi o assoluti (e perché).

Anche se si potrebbe metter giù meglio, il testo dell'esercizio è chiaro, le richieste sono chiare e la terminologia adottata (immagino) sia quella, tacitamente od espressamente, concordata dal docente con gli studenti che ne hanno seguito il corso.

Si tratta di indicare i valori massimi e minimi, relativi ed assoluti, della funzione assegnata nel dominio assegnato; il che, bada bene, è diverso dalla semplice classificazione dei punti critici e dei punti di estremo relativo od assoluto, come scrivi nella tua versione alternativa del testo dell'esercizio:

Quindi l'esercizio chiede di "trovare i punti di estremo e i punti critici della funzione in quel dominio indentificandone la natura" (notare come usando una terminologia corretta si evita ambigutà e prolissità nel testo dell'esercizio).

Insomma, non hai letto bene l'esercizio originario, o non ne hai compreso il fine, ed hai spacciato una tua versione parziale dello stesso (parziale perchè che coglieva solo alcune delle richieste del problema originario) come se fosse il verbo di dio posto su forum...
A parziale conferma:

@Vulplasir: Scusa, ma che diamine vai dicendo?

La verità

Inoltre le parole:

Beh il testo è sbagliato, e chi l'ha scritto non ha capito la differenza tra punti estremi e punti critici di una funzione.

indirizzate a chi, molto probabilmente, medita su queste cose da qualche tempo in più di te, non sono il massimo della cordialità.

[xXFEDERICOXx]

Voglio aggiungere che inizialmente non avevo incluso il testo completo, che ho aggiunto in seguito dopo la prima risposta, con tanto di "Edit:". Mi spiace ci siano state delle ambiguità.