Erasmus_First ha scritto:...
Toc, toc! ... C'è nessuno?Alex:
'ndò ti sei nascosto?
Leggo adesso che ci sono state ben 148 visite ma nessun intervento tranne il mio (dopo alcuni giorni in cui cresceva di giorno in giorno il numero di visite).
Ho messo questo problemino in
questa sezione ... per richiamare l'attenzione sul fatto che la "trigonometria sferica" non si studia (o per lo meno non si studiava ai miei tempi) nei corsi di matematica delle scuole preuniversitarie e memmeno (dico sempre "ai miei tempi") nel biennio di ingegneria né nei primi due anni della facoltà di "Matematica".
Eppure mi pare che un pizzico di
trigonometria sferica – che non è più difficile della trigonometria piana – oltre che utile nella pratica, per esempio in astronomia – sarebbe opportuna anche, dal punto di vista formativo (offrendo una speciale utile visione "stereoscopica" dello spazio [tridimensionale]).
Come illustrato nell'esempio (discusso nel mio precedente
"post". il calcolo della distanza di un vertice di un tetraedro dalla sua faccia opposta note che siano le lunghezze degli spigoli richiede la conoscenza di uno dei tre angoli diedri che la faccia opposta di quel vertice fa con ciascuna delle altre tre facce.
Nel testo che ho messo per il calcolo del volume del tetraedro dell'esempio si vede che ho utilizzato la formula del cosiddetto "primo teorema del coseno", ossia quello che, di un generico "triedro", dà il coseno di un angolo diedro in funzione degli angoli delle facce del triedro.
Precisamente:
Sia
AB uno spigolo del tetraedro
ABCD, sia
β l'angolo diedro di spigolo
AB e siano φ, χ e ψ gli angoli del "triedro" di vertice
A e spigoli
AB,
AC e
AD [come illustrato nella figura dell'immagine del mio precedente "
post"]. Allora (come si può leggere nel mio precedente
"post") vale la seguente uguaglianza:
$cos(β) = [cos(χ) – cos(ψ)·cos(φ)]/[sin(ψ)·sin(φ)]$. [*]
Dato tetraedro
ABCD di cui siano note le lunghezze degli spigoli, mettyiamo A nell'origine del sistema di riferimento carteiano, B sul semiasse positivo dell'asse x e C nel semipiano don y >0 del piano degli assi x e y.
Allora, note le lunghezze degli spigoli, è possibile calcolare (sfruttando la trigonometria piana e l'annotata formula [*] i trigonometria sferica) le coordinate di tutti i quattro vertici; dopo di che è facile scrivere l'equazione della sfera per i 4 vertici del dato tetraedro, ed in particolare calcolarne il raggio.
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