Integrale triplo esercizio

[manuelaci]

Ciao ragazzi
Calcolare il volume del seguente insieme: $ W={(x,y,x)∈ R^3: 0<9x^2+4y^2<1,1<z<1/sqrt(9x^2+4y^2)} $.
Dal calcolo dell'integrale triplo di 1 sul seguente dominio mi risulta $ π/6 $ , siete d'accordo?

[21zuclo]

potresti iniziare a postare quello che hai fatto tu e dire i tuoi eventuali dubbi.

Tanto per iniziare, sei passata alle coordinate ellittiche?

tipo per esempio se hai un ellisse in forma canonica $ (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1, a,b>0 $

le coordinate ellittiche $ { ( x=a\rho cos\theta ),( y=b\rho \sin\theta ):} $

con lo jacobiano $ Jac=ab\rho $

Posta almeno un po' quello che hai fatto tu.

in questo caso la forma canonica dell'ellisse è $ (x^2)/((1/3)^2)+(y^2)/((1/2)^2)=1 $

[manuelaci]

Ho integrato prima rispetto a z ottenendo un integrale di f(x,y) sul dominio che era un'ellisse e poi ho fatto,appunto, un cambio di variabile per risolvere l'integrale doppio.

[21zuclo]

io sarei passato direttamente alle coordinate ellittiche

allora la forma canonica dell'ellisse in questo caso è \( \frac{x^2}{(1/3)^2}+\frac{y^2}{(1/2)^2}=1 \)

Quindi hai che, il tuo insieme W si può scrivere più facilmente

$ W={(x,y,z)^T\in RR^3|0<(x^2)/((1/3)^2)+(y^2)/((1/2)^2)<1, 1<z<(1)/(\sqrt((x^2)/((1/3)^2)+(y^2)/((1/2)^2)))} $

passando alle coordinate ellittiche $ { ( x=1/3 \rho \cos\theta ),( y=1/2\rho \sin\theta ):}; Jac=1/6\rho $

si ha
$ \rho \in (0,1), z\in(1,1/\rho), \theta \in (0,2\pi) $

quindi
$ \int_(0)^(2\pi)d\theta \int_(0)^(1)d\rho \int_(1)^(1/\rho) 1/6 \rho dz=1/6 (\int_(0)^(2\pi)d\theta \int_(0)^(1)d\rho \int_(1)^(1/\rho)\rho dz) $

adesso è solo una questione di conti e di integrali semplici..

[pilloeffe]

Ciao manuelaci,

Se può esserti di conforto anche a me risulta $pi/6 $, ma con calcoli molto più complicati rispetto a quelli di 21zuclo perché mi sono intestardito a volerlo risolvere senza le coordinate ellittiche...

siete d'accordo?

potresti iniziare a postare quello che hai fatto tu e dire i tuoi eventuali dubbi.

Qui sono d'accordo con 21zuclo: se non ci fai vedere come l'hai fatto, a parte il risultato è difficile dire se siamo d'accordo...

[manuelaci]

$\int int_(0<9x^2+4y^2<1) dxdy int_1^(1/sqrt(9x^2+4y^2)) 1 dz $ quindi ho ottenuto $\int int_(0<9x^2+4y^2<1) [1/sqrt(9x^2+4y^2)-1] dxdy $ . Quindi ho fatto il cambio di variabile e sono passata in polari ottenendo $1/6 \int_0^1int_0^(2π) 1-p dpdθ $, quindi ho spezzato l'integrale $1/6 \int_0^1int_0^(2π) 1 dpdθ -1/6 \int_0^1int_0^(2π) p dpdθ $ che sono due integrali semplici e svolgendo i conti mi risulta $ π/6 $.
Che dite di questo procedimento, vi sembra corretto?

[21zuclo]

quindi ho spezzato l'integrale $1/6 \int_0^1int_0^(2π) 1 dpdθ -1/6 \int_0^1int_0^(2π) p dpdθ $ che sono due integrali semplici e svolgendo i conti mi risulta $ π/6 $.
Che dite di questo procedimento, vi sembra corretto?

volendo sì, per l'additività dell'integrale

quindi col primo integrale hai $ \pi/3 $

nel secondo hai $ 1/6 (1/2 \cdot 2\pi)=\pi/6 $

quindi si ha $ \pi/3-\pi/6=((2-1)/(6))\pi=\pi/6 $

[pilloeffe]

Riporto anche la mia soluzione (che ho su un foglio di carta che voglio buttare via... ) che comunque potrebbe essere vista come ciò che non si deve fare o comunque mostra l'indubbio vantaggio che si ottiene passando alle coordinate ellittiche...

\( \displaystyle \iiint_W dx dy dz = \int_{-1/3}^{1/3} \int_{- \sqrt{1 - 9x^2}/2}^{\sqrt{1 - 9x^2}/2} \int_{1}^{1/\sqrt{9x^2+4y^2}} dz dy dx = \)
$ = \int_{-1/3}^{1/3} \int_{- \sqrt{1 - 9x^2}/2}^{\sqrt{1 - 9x^2}/2} (1/\sqrt{9x^2+4y^2} - 1) dy dx = \int_{-1/3}^{1/3} \int_{- \sqrt{1 - 9x^2}/2}^{\sqrt{1 - 9x^2}/2} (dy)/\sqrt{9x^2+4y^2} dx - \int_{-1/3}^{1/3} \int_{- \sqrt{1 - 9x^2}/2}^{\sqrt{1 - 9x^2}/2} dy dx = $
$ = \int_{-1/3}^{1/3} [1/2 ln(\sqrt{9x^2 + 4y^2} + 2y)]_{- \sqrt{1 - 9x^2}/2}^{\sqrt{1 - 9x^2}/2} dx - \pi \cdot \1/3 \cdot 1/2 = $
$ = 1/2 \int_{-1/3}^{1/3} [ln(\sqrt{9x^2 + (1 - 9x^2)} + \sqrt{1 - 9x^2}) + ln(\sqrt{9x^2 + (1 - 9x^2)} - \sqrt{1 - 9x^2})]dx - \pi/6 = $
$ = 1/2 \int_{-1/3}^{1/3} ln(\frac{1 + \sqrt{1 - 9x^2}}{1 - \sqrt{1 - 9x^2}})dx - \pi/6 = 1/2 [x\ln(\frac{1 + \sqrt{1 - 9x^2}}{1 - \sqrt{1 - 9x^2}}) + 2/3 arcsin(3x) ]_{-1/3}^{1/3} - \pi/6 = $
$ = 1/2 [1/3 ln(1) + 2/3 arcsin(1) + 1/3 ln(1) - 2/3 arcsin(-1) ] - \pi/6 = 1/2 [4/3 arcsin(1)] - \pi/6 = $
$ = 1/2 [4/3 \cdot \pi/2] - \pi/6 = (2\pi)/6 - \pi/6 = \pi/6 $

Potrebbe essere interessante generalizzare (magari però usando il tuo metodo o quello di 21zuclo... ) al seguente insieme:

$ W(a, b) := {(x,y,x) \in \RR^3 : 0 < a^2 x^2 + b^2 y^2 < 1, 1 < z < 1/sqrt(a^2 x^2 + b^2 y^2)} $