Calcolare distanze di punti da sottospazi è in generale un problema non banale, specie in spazi non uniformemente convessi. Propongo una lezioncina.
Lemma (Riesz). Siano \( X\) uno spazio normato e \( G \subset X\) un suo sottospazio lineare chiuso proprio. Allora per ogni \( \epsilon \in (0,1)\) esiste un \(x_\epsilon \notin G\) con \( \| x_\epsilon \| = 1 \) e \( d(x_\epsilon ,G) \ge 1 - \epsilon \).
Con il precedente si può dimostrare il seguente
Teorema. Siano \(X\) uno spazio normato, \( x^* \in X^* \setminus \{ 0 \} \) e \( L= \ker x^* \). Allora \[ d(x,L) = \frac{|x^* (x)|}{\|x^*\|} \quad \forall \, x \in X. \]
Dimostrazione. Esercizio bonus (usare il Lemma di Riesz - io non lo ricordavo e c'ho perso la vita).
Corollario 1. Siano \( x^* \in X^* \setminus \{ 0 \} \), \( c \in \mathbb{R}\) e \( A = \{ x \in X \, : \, x^* (x)=c \} \) (iperpiano chiuso). Allora \[ d(x,A) = \frac{|x^* (x) - c|}{\|x^*\|} \quad \forall \, x \in X. \]
Corollario 2. Sia \(L\) un sottospazio lineare \(1\)-dimensionale di uno spazio di Hilbert \( \mathcal{H} \). Se \( a \in L \ \setminus \{0\}\) allora \[ d(x,L^{\bot}) = \frac{|\langle x , a \rangle |}{\|x^*\|} \quad \forall \, x \in X. \]
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Esercizio 1. Sia \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} \setminus \{0\} \) una successione tale che \( \lim_{n} |a_{n+1}/a_n|=l \ne 1\). Per ogni \( n \in \mathbb{N} \) sia \[ L_n = \left\{ \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2 \, : \, \sum_{k=1}^n a_k x_k = 0 \right\}. \]Calcolare \( d(e_n , L_n ) \) e \( \lim_n d(e_n, L_n )\).
Esercizio 2. Sia \[ H= \left\{ \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^1 \, : \, \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{n} = 1 \right\}. \]Mostrare che \(H\) possiede un unico elemento di norma minima e calcolarlo.