Non riuscendo (neanche lontanamente) a risolvere l'esercizio sull'isometria tra \( \ell^{\infty} \) e \( L(L^p([0,1])) \) ho optato per questo. Spero che sia corretto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Siano \( \epsilon >0 \) e \( y_0 \in \mathbb{R} \) fissati.
Per ogni \( x \in \mathbb{R} \) la funzione \( y \mapsto f(x)\cos(xy) \) è continua. Dunque per ogni $R>0$ esiste un \( \delta = \delta(x,R,\epsilon) \) tale che
\[ |y-y_0|<\delta \Rightarrow |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|< \frac{\epsilon}{4R} \]
Per ogni $R>0$ esiste un \( x_R \in [-R, R ] \) tale che
\[ \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = 2R |f(x_R) \cos(x_R y)-f(x_R) \cos(x_R y_0)| \]
Dunque si ha che per ogni \( R>0 \) esiste un \( \delta = \delta(x_R, R, \epsilon) \) tale che
\[ |y-y_0|<\delta \Rightarrow \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 \]
Osservo che
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx \le 2 \int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx < \infty \]
Dunque
\[ \lim_{R \to \infty} \int_{|x|>R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx =0 \]
Ovvero esiste un \( R_{\epsilon} >0 \) tale che
\[ \int_{|x|>R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 \]
Quindi per quanto detto sopra esiste un \( \delta = \delta( x_{R_{\epsilon}}, R_{\epsilon}, \epsilon) \)
\[ |y-y_0| < \delta \Rightarrow \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = \int_{-R_{\epsilon}}^{R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx + \int_{|x|> R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon \]
Quindi in definitiva, per ogni \( y_0 \in \mathbb{R} \) si ha che
\[ \forall \epsilon >0 \quad \exists \, \delta = \delta_{\epsilon} >0 \, : \, |y-y_0|< \delta \Rightarrow \]
\[ \epsilon> \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx \ge \Biggl | \int_{\mathbb{R}} f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)dx \Biggr | = \biggl |F(y)-F(y_0) \biggr | \]
Cioè per ogni \(y_0 \in \mathbb{R} \) si ha che
\[ \lim_{y \to y_0} F(y) = F(y_0) \]
Il che conclude la dimostrazione e mi fa pensare a quanto siamo fortunati ad avere avuto Lebesgue tra noi.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)