Salve, propongo un problema credo abbastanza semplice, ma essendo un po' arrugginito non riesco a trovare una "formula" valida in generale:
In un bosco ben delimitato ci sono N funghi. Arriva un gruppo composto da M persone, ciascuna delle quali inizia a cercare funghi per conto proprio.
Domande:
1-Quando tutti i funghi del bosco sono stati raccolti, qual'è la probabilità che una persona sia riuscita a raccogliere almeno un fungo?
2- Qual'è il numero minimo N di funghi che dovrebbe essere presente nel bosco per fare in modo che ciascuno degli M cercatori abbia una determinata sicurezza di riuscire a raccogliere almeno 1 fungo?
Io ho iniziato a fare il seguente ragionamento, ma mi piacerebbe avere una risposta valida per qualunque valore di M ed N interi.
Prima di tutto: appena inizia la ricerca, se fosse presente un solo fungo (N=1), essendoci M persone, ciascuna di esse avrà una probabilità 1/M di trovare il fungo.
Se fosse N=2, la probabilità per una persona di trovare "almeno un fungo" sarebbe data dalla probabilità di trovare 1 fungo + la probabilità di trovare 2 funghi, per tanto sarebbe ovviamente maggiore rispetto al caso in cui ci fosse un solo fungo.
Qual'è la probabilità di trovare 2 funghi da parte di una persona quando ci sono in tutto M persone? (E' qui che mi incarto...)
Andando avanti con il ragionamento al crescere di N la probabilità di trovare "almeno" un fungo cresce, ma la cosa si complica in quanto una persona potrebbe trovare molti funghi, e di conseguenza un'altra persona potrebbe non trovarne nessuno, perciò bisognerebbe analizzare tutti i casi possibili e calcolare una probabilità complessiva, ma io mi aspetto che questa probabilità aumenterà sempre al crescere di N, pur senza mai arrivare a 1.
Quindi in merito alla seconda domanda (conseguenza della prima), ritengo che non esista un valore di N "sufficientemente grande" per avere la certezza di trovare almeno un fungo (perchè come visto prima c'è sempre la probabilità seppur remota che qualcuno rimanga senza funghi), per tanto per avere una ragionevole "sicurezza" di trovare almeno un fungo si dovrebbe introdurre un limite grande a piacere, ad esempio il 90% o il 99%, o comunque una soglia prefissata, (chiamiamola X in modo da avere una soluzione del tutto generale).