La triennale con mezzo anno di ritardo e un voto bassino se rapportato al mio potenziale ma mi rifarò alla magistrale (della serie: "è bravo ma non si applica")
Per risolvere l'esercizio 1 mi resta da dimostrare che
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$x^x \leq x^2-x+1$ in [0,1] fatto ciò infatti basta iterare la disuguaglianza tenendo conto che
$$(x^2-x+1)(x^n-x+1) \leq x^{n+1}-x+1$$
Infatti $(x^2-x+1)(x^n-x+1) - x^{n+1}+x-1=(x^n-x)(x-1)^2 \leq 0$. Si giunge quindi alla disuguaglianza
$$x^{7x} \leq x^8-x+1$$
Ora l'ho buttata lì ma appena dimostro la prima disuguaglianza spiego meglio. In sostanza quello che ho voluto dimostrare (per induzione) è che per ogni $n$ naturale
$$x^{nx} \leq x^{n+1}-x+1$$
Però manca il caso base...
$$(x^2-x+1)(x^n-x+1) \leq x^{n+1}-x+1$$
Infatti $(x^2-x+1)(x^n-x+1) - x^{n+1}+x-1=(x^n-x)(x-1)^2 \leq 0$. Si giunge quindi alla disuguaglianza
$$x^{7x} \leq x^8-x+1$$
Ora l'ho buttata lì ma appena dimostro la prima disuguaglianza spiego meglio. In sostanza quello che ho voluto dimostrare (per induzione) è che per ogni $n$ naturale
$$x^{nx} \leq x^{n+1}-x+1$$
Però manca il caso base...