Permutazioni

Messaggioda Alin » 10/08/2018, 09:15

Buongiorno, ho un dubbio riguardo le permutazioni che fissano un dato numero di elementi.
Cerco di spiegarmi:
se considero il gruppo simmetrico $S_5$, il sottogruppo $tau$ formato dalle permutazioni che fissano un elemento avró
$|tau | =(n-1)!$, quindi questo sottogruppo é isomorfo a $S_4$

Guardando invece in $S_5$ le permutazioni che fissano un elemento, ho visto che quelle della forma $2+2+1 =15$ e quelle
della forma $4+1 =30$. In tutto mi ritrovo 45 permutazioni che fissano un elemento più naturalmente
l'identitá.
Dunque non riesco a capire qual é il nesso con il gruppo $S_4$ che é firmato da $24$ permutazioni.
Qualcuno mi puó aiutare a capire, grazie.
Alin
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Re: Permutazioni

Messaggioda orsoulx » 10/08/2018, 18:37

Se affronti problemi diversi, raramente troverai risultati uguali.
Delle 120 permutazioni semplici di cinque elementi possibili, ve ne sono:
9 che lasciano al suo posto solamente un elemento prefissato (ad esempio il secondo), mentre i restanti cambiano posizione;
24 che lasciano un elemento prefissato al suo posto;
45 che lasciano un solo elemento (qualsiasi) al suo posto;
76 che lasciano almeno un elemento al suo posto.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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Re: Permutazioni

Messaggioda Alin » 10/08/2018, 19:47

Intanto grazie per la risposta. Per poter capire meglio quali sono le 24 permutazioni del gruppo $S_5$ che formano un gruppo isomorfo con $S_4$ mee ne potresti indicare qualcuna? In queste mi fai capire cosa significa lasciano un elemento prefissato.
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Re: Permutazioni

Messaggioda orsoulx » 10/08/2018, 21:01

Prendi una parola di 5 lettere diverse, es. "conta", questa ha 120 anagrammi (non necessariamente di senso compiuto).
Sceglia una delle cinque lettere, es. "t", fra i 120 anagrammi precedenti ve ne sono 24 che lasciano la "t" al quarto posto:
"conta" "coatn" "cnota" "cnato" "caotn" "canto" "ocnta".....
Ciao
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Re: Permutazioni

Messaggioda Alin » 10/08/2018, 22:58

Quindi, sperando di aver capito, il sottogruppo di $S_5$ isomorfo al gruppo $S_4$ é dato da tutte quelle permutazioi che fissano il $5$ e cioé


Immagine
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Re: Permutazioni

Messaggioda orsoulx » 10/08/2018, 23:20

:smt023
Ciao
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Re: Permutazioni

Messaggioda Alin » 11/08/2018, 05:24

Una curiositá, ma prendendo il sottogruppo delle permutazioni che fissano per esempio $1$ non si ottiene un
sottogruppo isomorfo sempre a $S_4$


Immagine

Stessa cosa vale anche se fissò 2, 3, 4 naturalmente prendendoli separatamente..
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Re: Permutazioni

Messaggioda orsoulx » 11/08/2018, 07:53

Sicuramente. Fissato un elemento qualsiasi, non importa quale, si ottiene sempre un sottogruppo isomorfo ad $ S_4 $.
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Non dormi mai? :)

Ciao
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Re: Permutazioni

Messaggioda Alin » 11/08/2018, 09:36

Grazie per la chiarezza.
Volevo un chiarimento: se volessi calcolare l'intersezione tra i due sottogruppi di prima che chiameró $H_1 nnH_5$
ottengo che l'ordine é $6$ ed é dato da ${i ,(23),(24),(34),(234),(243)}$ Questo rappresenta un altro sottogruppo.
Fi qui ci dovrei essere.
Ma se mi venisse chiesto di trovare l'ordine dato dall'intersezione di due sottogruppi per esempio di $S_15$ che fissano il primo i primi $2$ numeri e il secondo gli ultimi $3$, come dovrei procedere, mi devo forse calcolare tutte le permutazioni.
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Re: Permutazioni

Messaggioda orsoulx » 11/08/2018, 12:16

Alin ha scritto:mi devo forse calcolare tutte le permutazioni.

Nessuno ti proibisce di farlo e, se sono tante, può anche servire a combattere l'insonnia.
Nessuno ti costringe a farlo, se ci ragioni un momento: tutti gli elementi che non vengono bloccati da almeno una delle condizioni verranno permutati in tutti i modi possibili: otterrai sempre un gruppo isomorfo ad $ S_m $, dove $ m $ è la differenza fra $ n $ e...
Nell'esempio che proponi: una volta fissi $ 1 ; 5 $, l'altra i restanti tre; nell'intersezione troverai solo l'identità.
Ciao
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