Se \(\displaystyle (X,\mathrm{d}) \) è uno spazio metrico, allora un'altra metrica è definita da \(\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)=\frac{\mathrm{d}(x,y)}{1+\mathrm{d}(x,y)} \) e \(\displaystyle (X,\mathrm{d}') \) è limitato.
Allora, chiaramente le prime proprietà della metrica \(\displaystyle d' \) discendono immediatamente da quelle di $d$; \(\displaystyle d' \) è certamente non negativa, nulla solo se \(\displaystyle x=y \) e simmetrica. Resta quindi soltanto la disuguaglianza triangolare: \[\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)=\frac{\mathrm{d}(x,y)}{1+\mathrm{d}(x,y)}\underbrace{\le}_{*}\frac{\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}= \frac{\mathrm{d}(x,z)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}+\frac{\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}\le \frac{\mathrm{d}(x,z)}{1+\mathrm{d}(x,z)}+\frac{\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(z,y)}=\mathrm{d}'(x,z)+\mathrm{d}'(z,y). \] \(\displaystyle * \): non sono molto sicuro di questa disuguaglianza, è corretta? Purtroppo è quella su cui si basa tutta la catena!
Comunque, per la seconda parte: suppongo che $X$ sia limitato rispetto alla metrica $d$. $X$ è limitato conseguentemente anche secondo la metrica \(\displaystyle d' \) poiché se \(\displaystyle \forall x,y\in X \), \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)<\infty \) allora sicuramente \(\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)<\infty \). Supponendo invece che $X$ sia illimitato, allora esiste almeno una coppia \(\displaystyle x,y \) tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)\to\infty \), ottenendo per \(\displaystyle \mathrm{d}' \) una forma di indeterminazione \(\displaystyle \infty/\infty \). Siccome tuttavia \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)\sim1+\mathrm{d}(x,y) \), si ha ancora \(\displaystyle \mathrm{d}'<\infty. \)
Che dite, va bene?