Ciao a tutti, quando si parla di intorni sferici in \(\displaystyle \mathbb{R} \) o in \(\displaystyle \mathbb{C} \) non ci sono grossi problemi. Tuttavia trovo più difficile visualizzare cosa significano in altri spazi metrici. Ad esempio, prendendo lo spazio di funzioni \(\displaystyle C[-1,1] \), \(\displaystyle B(x_0,1) \) è l'intorno sferico di raggio $1$ centrato in una funzione \(\displaystyle x_0(t) \). Quindi se per esempio prendo \(\displaystyle x_0=t^2 \) cosa devo immaginare? Il grafico di una parabola e i punti che distano da esso meno di $1$? Oppure c'è un punto che fa da centro da cui devo calcolare la distanza? Ha senso pensare al grafico della funzione se in realtà i punti da cui devo calcolare la distanza sono a loro volta delle funzioni?
Posto comunque alcuni esercizi sull'argomento:
i) Ogni intorno sferico definito da \(\displaystyle \{x\in X : \mathrm{d}(x,x_0<r\} \) è un insieme aperto. Prendendo un punto \(\displaystyle x_0 \) a metà del raggio iniziale posso trovare ad esempio un suo intorno con \(\displaystyle r_2=r_1/2 \); per induzione, avvicinandomi sempre di più al bordo dimezzando la distanza posso definire la successione \(\displaystyle r_n=r_1/2^n \) e trovare così sempre un intorno aperto per ogni punto dell'insieme.
ii) Determinare in \(\displaystyle C[0,2\pi] \) il più piccolo $r$ tale che \(\displaystyle y\in B(x,r) \), dove \(\displaystyle x=\sin t \), \(\displaystyle y=\cos t \). Se le cose stanno come lo ho intese io, allora semplicemente si tratta di prendere $r=1$, poiché nell'intervallo \(\displaystyle [0,2\pi] \) le due funzioni \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) distano tra loro al più uno.