Ciao a tutti, sto studiando il teorema di Morita sull'equivalenza di categorie di moduli. Devo dimostrare il seguente fatto, ma ho trovato delle difficoltà.
Siano $R$ and $S$ anelli equivalenti con equivalenze inverse $F: _{R}M \to _{S}M$ e $G: _{S}M \to _{R}M$. Siano $P=F(R)$, $Q=G(S)$.
Allora $P$ è (S,R) bimodulo e $Q$ è (R,S) bimodulo.
Nella dimostrazione l'autore richiama questi 2 isomorfismi di anelli:
$R \cong End(R)$ tramite moltiplicazione a destra $\lambda$ per uno scalare in $R$ e $End(R) \cong End_S(P)$ tramite $F$.
Dunque c'è un isomorfismo di anelli $r \mapsto F(\lambda(r))$ che devo usare per definire la motliplicazione destra di un elemento di $P$ per uno scalare di $R$ per dimostrare che $P$ è un $R$-modulo destro. La dimostrazione cita inoltre il fatto che $R$ è $(R,R)$ bimodulo e che $F$ è un funtore additivo.
Se qualcuno ha dei suggerimenti ne sarei grata! Grazie!