Ciao, come vanno i seguenti esercizi secondo voi?
i) Mostrare che \(\displaystyle A\subset B \) implica \(\displaystyle \text{diam}A\le\text{diam}B \).
Per assurdo, sia \(\displaystyle \text{diam}A>\text{diam}B \). Dalla definizione di diametro, ciò significa che posso trovare una coppia \(\displaystyle (x,y)\in A \) tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)>\mathrm{d}(x',y') \) per ogni scelta di coppie \(\displaystyle (x',y')\in B \), contraddicendo l'ipotesi \(\displaystyle A\subset B \) poiché allora \(\displaystyle (x,y)\notin B \).
ii) Mostrare che \(\displaystyle \text{diam}A=0 \) se e solo se $A$ consiste di un solo punto $x$.
Chiaramente, se $A$ ha più di un punto, si può sempre trovare un $y$ tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)>0 \) per gli assiomi sulla distanza; viceversa, se \(\displaystyle \text{diam}A=0 \), allora \(\displaystyle \sup \mathrm{d}(x,y)=0 \) per ogni scelta della coppia \(\displaystyle (x,y) \); siccome per gli assiomi sulla distanza \(\displaystyle \mathrm(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y \), l'insieme consiste di un punto singolo.
iii) La distanza tra due insiemi \(\displaystyle D(A,B)=\inf_{a,b} \mathrm{d}(a,b) \) non definisce una metrica sull'insieme delle parti di \(\displaystyle X\supset A,B \).
La prima giustificazione che mi viene in mente è che l'insieme \(\displaystyle \mathcal{P}(X) \) contiene anche l'insieme vuoto, che mi crea dei problemi: non ha molto senso usare questa definizione di distanza per parlare di distanza dall'insieme vuoto. Ci sono altre complicazioni, o è questo l'unico motivo? Basterebbe rimuovere l'insieme vuoto dalla lista per poter parlare di spazio metrico? Edit: mi sono accorto che in effetti basterebbe avere \(\displaystyle A\cup B=\varnothing\) affinché \(\displaystyle D(A,B)=0 \) e questo violerebbe l'assioma per cui \(\displaystyle D(A,B)=0 \Leftrightarrow \) $A=B$.