Gi. ha scritto:Si tutti i modelli sono isomorfi. Continuo a non seguirti. Per esibire un modello degli assiomi di peano e dimostrare che è unico a meno di isomorfismo ti serve un modello di una teoria degli insiemi in cui lavorare.
Gi. ha scritto:Te la dico in modo diverso, perché continuo a non capirti. Una volta esibito un modello degli assiomi di Peano in Set, dimostri che è un NNO (vedi il link di killingbuddha), e per fare questo usi il principio di induzione, e poi il fatto che sia un NNO lo caratterizza univocamente a meno di isomorfismo perché soddisfa una prop. universale. Alla fine l’esistenza dei numeri naturali è un assioma. Una volta che li hai, dimostri che sono un NNO per induzione, e sai che un NNO è unico a meno di isomorfismo.
Gi. ha scritto:I modelli dove ci sono “altre cose oltre i successori di zero” sono i modelli non-standard dell’aritmetica, in cui hai anche numeri “infiniti”, maggiori di qualsiasi numeri naturale. Questi modelli si possono costruire, sfruttando la compattezza, per la teoria dell’aritmetica al primo ordine, in cui hai una forma più debole del principio di induzione. Al secondo ordine, essendo il modello unico, ed essendo i numeri naturali un modello, è chiaro che dentro non possa esserci altro che “i successori di zero”.
Gi. ha scritto:Set è un modello di ZFC che è una teoria al primo ordine che ha un assioma che ti permette di costruire all’interno di un suo modello i numeri naturali. Per dimostrare che sono un NNO usi il principio di induzione, cioè usi una loro proprietà formulata al secondo ordine.
Gi. ha scritto:Se sei d’accordo sul fatto che i numeri naturali sono un modello degli assiomi di peano con il principio di induzione,ti ho già spiegato che ogni altro modello è isomorfo a questi, quindi non avrà altro al suo interno. Non so essere più chiaro di così. Se passasse di qui un logico magari ti saprebbe dire le cose meglio,per me onestamente non è neanche facile decifrare quello che intendi.
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