Buongiorno,
studiando il libro di analisi 2 Fusco, Marcellini, Sbordone, sono incappato in un piccolo teorema che mi ha messo un po' in crisi, non perché penso sia falso, ma perché mi sembra inutilmente debole, sto parlando della superadditività della misura dei compatti secondo Lebesgue.
In pratica, per costruire la misura di Lebesgue in $R^n$ il libro prima definisce la misura degli intervalli poi quella dei Plurintervalli, e poi definisce la misura degli aperti e dei compatti, successivamente definirà la misura interna ed esterna.
In particolare la misura dei compatti la definisce come $$m(K)=\inf \{ m(P) : \mathop P\limits^ \circ \supset K\}$$ e fin qui tutto bene, poi dice:
Siano $F$ e $K$ due compatti tali per cui $K\cap F=\emptyset$, allora $m(F\cup K)\ge m(F)+m(K)$
Ora io non dico che questo sia falso, anzi! ma non capisco perché accontentarsi della disuguaglianza, per me dovrebbe valere l'uguaglianza, qualcuno sa far luce sulla faccenda?
Successivamente, anche la misura interna si porterà dietro questo fardello con un teorema del tutto identico a quello appena scritto(basta scrivere $m_i$ al posto di $m$ e trattare $F$ e $K$ come insiemi generici limitati), e anche in quel caso non capisco perché accontentarsi della superadditività quando secondo me è evidente che debba valere l'additività, se così non fosse mi farebbe comodo vedere dei controesempi... Ringrazio in anticipo chi avrà la cortesia di far luce sulla faccenda perché non la so sbrogliare...