da killing_buddha » 19/08/2018, 12:59
Se \(f : V \to W\) è una funzione tra \(K\)-spazi vettoriali, essa si dice omogenea di grado \(d\) se per ogni \(\lambda \in K\) si ha \(f(\lambda v) = \lambda^d f(v)\), per un intero \(d\in \mathbb N\) che si dice "grado" della funzione omogenea.
Puoi divertirti a dimostrare che se \(V=W=K[X_0,\dots, X_n]\) è un anello di polinomi nelle \(n+1\) indeterminate \(X_0,\dots, X_n\) allora l'insieme \(K[\underline X]_\text{h}\) delle funzioni polinomiali omogenee \(V \to K\) si identifica all'insieme dei polinomi omogenei, ossia di quei polinomi ogni monomio dei quali ha grado esattamente \(d\), al variare di \(d\in \mathbb N\).
Mostra anche che esiste una coppia di funzioni
- affineizzazione: \({\bf a}: K[\underline X]_\text{h} \to K[T_1,\dots,T_n]\) che manda \(p\) in \(p(1,T_1, \dots, T_n)\)
- omogeneizzazione: \({\bf h}:K[T_1,\dots, T_n]\to K[\underline X]_\text{h}\) che manda \(q\) in \(X_0^{\deg q} q\big(\frac{X_1}{X_0},\dots, \frac{X_n}{X_0}\big)\).
- "Everything in Mathematics that can be categorized, is trivial" (P. J. Freyd), which should be understood as: "category theory is good ideas rather than complicated techniques".
- "I always disliked Analysis" (P. J. Freyd)
riusciresti a buttarla giù un po' più "pratica", magari utilizzando le funzioni che ho riportato come esempio?