Treni su binario rettilineo (moto rettilineo uniforme)

[marco2132k]

Salve, ciò che sto per chiedere è probabilmente banale (troppo), ma la mia bassissima voglia di dover studiare fisica adesso mi impedisce di scervellarmici più di tanto

Supponiamo che nello stesso binario rettilineo vi siano due treni, approssimabili come punti materiali per quanto riguarda la precisione con cui vogliamo studiare il fenomeno. Entrambe le locomotive si muovano di moto rettilineo uniforme sul binario e, all'istante $t=0$, si trovino rispettivamente la prima in $x_1$ e la seconda in $x_2$ ($x_2 > x_1$). Ciò che dovrei fare sarebbe discutere quali sono i casi in cui potrebbe esserci una collisione tra i due mezzi e, se questo potesse succedere, descrivere "quando" e "dove".

La soluzione dovrebbe essere quando:
1) La velocità $v_1$ di $x_1$ è opposta in segno a quella $v_2$ di $x_2$;
2) Entrambe $v_1$ e $v_2$ sono $>0$, e $v_1 > v_2$;
3) Entrambe $v_1$ e $v_2$ sono $<0$, e $v_1 < v_2$.

Ora, tutto ciò mi è chiaro, quello che non capisco è come ricavare questi risultati: perché sono proprio questi? Sono gli unici casi possibili in cui i due punti/treni si scontrano? E se sì, perché?

La seconda parte invece mi è chiara: devo ricavare semplicemente il tempo \(t_\mathrm{coll}\)...

[Vulplasir]

Non ci vuole tanto...si scontrano se vanno uno contro l'altro oppure se si inseguono e l'inseguitore ha velocità maggiore dell'inseguito...

[marco2132k]

Certo, Vulplasir, questo nel mondo reale, e immaginandomi la scenetta il significato fisico delle formule mi sembra chiaro. Quello che sto cercando di capire è più o meno come fare a ricavare quelle condizioni dalle informazioni che dispongo dal problema, però "analiticamente" o roba del genere: la legge oraria del primo punto è \(x_1(t)={x_1}+v_1t\), quella del secondo è \(x_2(t)={x_2}+v_2t\); i due punti si incontrano quando è \(x_1(t)=x_2(t)\). E poi, ho anche il problema inverso: se si verificano quelle condizioni, perché è vero che i due mezzi si scontrano? Mi spiego: se supponessimo che con $v_1,v_2>0$ fosse $v_1<v_2$, perché non si incontrano (cercando di "dimostrarlo" sempre "analiticamente")? E invece se è, ad esempio $v_1 = -v_2$ perché mai dovrebbero incontrarsi? (sempre "analiticamente", mi è chiaro che se vado contromano in autostrada prima o poi la mia posizione coinciderà con quella di un altro mezzo)

[Vulplasir]

Le auto si incontrano nel tempo:

$t=(x_2-x_1)/(v_1-v_2)$

Converrai che deve essere $t>0$, e inoltre essendo $x_2-x_1>0$ si possono trarre delle conclusioni sulle velocità.

[marco2132k]

Quindi, posta la condizione che i due treni si tocchino, ricavo $v_1 > v_2$
Forse ho capito come approcciare a questo problema: ho tre casi possibili per quanto riguarda la velocità dei mezzi, che sono $v_1 = v_2$ (il sistema non ha soluzioni, a.k.a. i treni non si scontrano), $v_1 > v_2$, con entrami $>0$ (allora, se \(t_{\rm{coll}}\) è $>0$ (deve essere maggiore di zero perché nelle nostre misurazioni il tempo avanza, giusto?) il sistema ha soluzione) e infine $v_2>v_1$ (allora $t>0$ ci dice che il sistema non si risolve).
Credo mi sia più o meno chiaro ora, grazie mille

[Vulplasir]

Si, in verità così scritti $v_1$ e $v_2$ non sono scritti in modulo, ma mettendo un riferimento, allora l'unica condizione $v_1>v_2$, a seconda che $v_1$ e $v_2$ siano positive o negative rispetto a quel riferimento si divide in quelle 3 condizioni date dalla soluzione, che valgono quando v1 e v2 sono espresse in modulo. Anzi, direi che la soluzione è sbagliata (se è quella che hai riportato), la soluzione 1) la velocità di x1 è opposta in segno a quella di x2 non è vera, le velocità devono essere opposte e "convergenti", non "divergenti" se no le auto si allontanano, in questo caso risulta infatti t<0.