Derivata positiva in un punto

[marco2132k]

Moderatore: Martino

Spostato dicussione ritenuta OT da qui

Ma non essendo io Eulero, e avendo paura che studiando matematica perdessi di vista completamente la "realtà" e le cose "ovvie", come per esempio : viewtopic.php?f=19&t=191795

Mi sento chiamato in causa . È proprio per evitare di perdere il contatto con la realtà, che a volte mi pongo domande del genere. Che nel thread in questione i due mezzi prima o poi, nelle condizioni esposte, si scontrassero, lo si osserva subito. Ciò che cerco di fare (o almeno ci provo) quando studio (o sono sono costretto a studiare) Fisica, e che a volte, sono il primo a dirlo, può portare a dei risultati quasi patetici, è accertarmi che il mio modello concordi con la realtà (per chi ha letto il link): se nel mio modello $x_1(t)=x_1+v_1t$ il caso $v_1<v_2$ implicasse lo "scontro" \(x_1(t_{\rm{coll}})= x_2(t_{\rm{coll}})\) per qualche \(t_\rm{coll}\), allora non starei più descrivendo nulla e qualsiasi cosa ci facessi con la mia formula/modello matematico, sarebbero niente altro che seghe mentali. Immagina una definizione di derivata dove $f'(x) > 0$ (o $< 0$) non implichi che in un intorno $U \in \mathcal{I}_x = \{U:U\ \text{intorno di}\ x\}$ il rapporto incrementale \(\left( f(x)-f(x_1) \right) / (x-x_1)\) sia $>0$ (o $<0$) per ogni $x \in U\setminus{x_1}$: che fine farebbe la definizione
\[v=\frac{dx}{dt}\]
tanto cara ai libri di fisica? Potremmo ancora dire, definendo sempre $v$ come la derivata prima della posizione $x$, che se la velocità è positiva (nel nostro modello) allora la macchina si sta spostando "verso avanti" rispetto al punto che abbiamo assunto come origine, solo perché se vediamo in autostrada un'automobile con velocità positiva questa sì che si sposta verso avanti? No effettivamente: il nostro modello è spazzatura, e non accorgersi di lavorare con cose del genere perché "si vuole mantenere il contatto con la realtà" porta (tralasciamo che tutte le *cose* di Fisica 1 sono giuste e che io dovrei farmi meno pare (se non voglio rimanere fino alla fine dei miei giorni a studiare la Cinematica)) all'esatto opposto: manco si capisce che cosa il modello con cui si sta lavorando descrive.

Non credo che ciò che sta scritto sopra sia del tutto ot... Se per certezza si intende "perché per risolvere $\frac{15x^2+2x+18}{42x^2-42} > 0$ devo studiare il segno, e perché devo fare proprio quei passaggi o perché $a^{-1}=\frac{1}{a}$", la matematica non è fatta di oggetti misteriosi e di algoritmi altrettanto oscuri a cui dare in pasto numeri e ricavare magicamente un risultato: vi sono assiomi, definizioni, lemmi, teoremi, corollari. Se $e^{i\pi}+1 = 0$ debba affascinare, a prima vista, quando la parola "omeomorfismo" ha, nella testa di chi la sente, lo stesso significato di "sfgasfsq", non credo sia necessario eh (e personalmente...). Piuttosto che molte cose possano avere un comportamento in comune, e che si possa "toccare" questo comportamento (esempio semplice here) è una delle cose che mi attirano parecchio; sono tuttavia opinioni personali.

[otta96]

Immagina una definizione di derivata dove $f'(x) > 0$ (o $< 0$) non implichi che in un intorno $U \in \mathcal{I}_x = \{U:U\ \text{intorno di}\ x\}$ il rapporto incrementale \(\left( f(x)-f(x_1) \right) / (x-x_1)\) sia $>0$ (o $<0$) per ogni $x \in U\setminus{x_1}$:

Non è difficile da immaginare, è quella che si dà comunemente.

[marco2132k]

Immagina una definizione di derivata dove $ f'(x) > 0 $ (o $ < 0 $) non implichi che in un intorno $ U \in \mathcal{I}_x = \{U:U\ \text{intorno di}\ x\} $ il rapporto incrementale \( \left( f(x)-f(x_1) \right) / (x-x_1) \) sia $ >0 $ (o $ <0 $) per ogni $ x \in U\setminus{x_1} $:

Non è difficile da immaginare, è quella che si dà comunemente.

Probabilmente volevo scrivere $f'(x_1)>0$. Non capisco cosa intendi: se $f$ in $x_1$ è derivabile e con derivata positiva, perché non dovrebbe essere ivi crescente? Se così non fosse (come nell'esempio), non avremmo il teorema della permanenza.

[otta96]

Prova a dimostrare quello che dici usando il teorema della permanenza, ti dovresti accorgere che ad un certo punto ti blocchi nella dimostrazione.

[marco2132k]

Sia $f:T\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ derivabile nel punto di accumulazione $x_1 \in T$, tale che $f'(x_1)>0$. Se definiamo $\Delta_{x_1}:T\setminus{x_1}\to\mathbb{R}:x\mapsto \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$, allora l'affermazione precedente diviene $\lim_{x\to x_1}\Delta_{x_1}(x)>0$; per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di $x_1$, del tipo che in esso si ha $\Delta_{x_1}(x)>0$. Questa coincide con la definizione di $f$ crescente in $x_1$

Nel caso qualcosa fosse sbagliato mi scuso, domani controllerò immediatamente sui testi.

[Fioravante Patrone]

Sia $f:T\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ derivabile nel punto di accumulazione $x_1 \in T$, tale che $f'(x_1)>0$. Se definiamo $\Delta_{x_1}:T\setminus{x_1}\to\mathbb{R}:x\mapsto \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$, allora l'affermazione precedente diviene $\lim_{x\to x_1}\Delta_{x_1}(x)>0$; per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di $x_1$, del tipo che in esso si ha $\Delta_{x_1}(x)>0$. Questa coincide con la definizione di $f$ crescente in $x_1$

Nel caso qualcosa fosse sbagliato mi scuso, domani controllerò immediatamente sui testi.

Martino, scusa se continuo a rimanere fuori tema, ma nella discussione fra marco2132k e otta96 mi pare emerga un fraintendimento, che può essere opportuno precisare. Se una funzione ha derivata prima positiva in un punto NON E' VERO che ci sia un intorno del punto in cui la funzione è strettamente crescente (come giustamente afferma otta96). C'è una definizione (che ho sempre considerato buffa) di "funzione crescente in un punto", ed è questo che si riesce a dedurre dalla positività della derivata prima in un punto.

Poi, Martino, se vuoi tagliar via questa parte di thread e metterlo da un'altra parte, forse è ancora meglio

[otta96]

Rieccomi, buona idea quella di far spostare questa discussione che era OT di là in una completamente nuova.
Veniamo a noi: il motivo per cui non funziona la dimostrazione che verrebbe in mente su due piedi (cioè quella che hai proposto tu) è questo passaggio:

Se definiamo $ \Delta_{x_1}:T\setminus{x_1}\to\mathbb{R}:x\mapsto \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} $, allora l'affermazione precedente diviene $ \lim_{x\to x_1}\Delta_{x_1}(x)>0 $;

Qui stai implicitamente supponendo $lim_{x->x_1} f'(x)=f'(x_1)>0$, cioè che la derivata sia continua in $x_1$, che in generale non è vero.
Adesso passiamo al motivo per cui non è vera la proposizione iniziale: considera $f:RR->RR, f(x)={(x+2x^2sin(1/x), x!=0),(0, x=0):}$, si ha che $f$ è derivabile su tutto $RR$ e $f'(0)=1>0$, ma non esiste nessun intorno $U$ di $0$ tale che $f$ sia crescente se ristretta a $U$ (ti lascio come esercizio di verificare i dettagli).
Inoltre sarei curioso di sapere qual è la definizione di funzione continua in un punto a cui faceva riferimento Fioravante, dato che ho sempre avuto la sensazione che si potesse dare una definizione di quel tipo ma non sono mai riuscito a trovarla.

[marco2132k]

Sì, dovrei scusarmi per aver causato un clamoroso ot!
Comunque:

passiamo al motivo per cui non è vera la proposizione iniziale: considera [...]

Inoltre sarei curioso di sapere qual è la definizione di funzione continua in un punto a cui faceva riferimento Fioravante

Immaginavo che proponessi quel controesempio, ed infatti ciò che stai obiettando è correttissimo: non è vero che se una funzione ha derivata positiva in un punto, allora debba esistere un intorno di quel punto dove la funzione è crescente. Non ho mai parlato di questo, mi spiace di non esser stato chiaro.

La definizione di funzione crescente "in un punto" (e non in un intorno di esso), a cui io e Fioravante ci stavamo riferendo, è la seguente: sia \(f:T\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(x_0\) di accumulazione di $T$; diciamo \(f\) crescente in \(x_0\) se esiste un intorno \(U\) di \(x_0\) tale la funzione \(\Delta_{x_1}\) come definita prima (rapporto incrementale di \(f\), calcolato a partire da \(x_1\)) sia \(>0\) in \(U\setminus\{x_1\}\).
Questo non implica che la funzione sia crescente nel senso precedente (a proposito, è una definizione che ho letto sul Prodi, che mi sembra di ricordare che tu conosca, e la dimostrazione del post precedente credo che, forse a parte la notazione, sia pari pari a quella del testo).

il motivo per cui non funziona la dimostrazione che verrebbe in mente su due piedi (cioè quella che hai proposto tu) è questo passaggio:

Se definiamo $ \Delta_{x_1}:T\setminus{x_1}\to\mathbb{R}:x\mapsto \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} $, allora l'affermazione precedente diviene $ \lim_{x\to x_1}\Delta_{x_1}(x)>0 $;

Qui stai implicitamente supponendo $ lim_{x->x_1} f'(x)=f'(x_1)>0 $, cioè che la derivata sia continua in $ x_1 $, che in generale non è vero.

Per definizione di derivata è \(f'(x_1) = \lim_{x\to x_1}{\left( f(x)-f(x_1) \right)/(x-x_1)}\): definire \(\Delta_{x_1}\) è solo zucchero sintattico; se \(f'(x_1) > 0\), \(\lim_{x\to x_1}{\left( f(x)-f(x_1) \right)/(x-x_1)} = \lim_{x\to x_1}{\Delta_{x_1}(x)} > 0\). Non riesco a seguirti per quanto riguarda la supposizione implicita: in generale \(\Delta_{x_1}(x)\neq f'(x)\).

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

C'è una definizione (che ho sempre considerato buffa) di "funzione crescente in un punto"

In realtà è una def. che trovo simpatica: se sono costretto ad avere a che fare con testi di fisica mi immagino un punto appartenente all'intorno come un "punto molto vicino a $x_1$" e vedo ivi il mio punto materiale essere andato un po' più avanti rispetto a quanto era prima, perché la sua velocità è positiva. È un po' un modo per convivere con i $d\text{qualsiasicosa}$, in contesti dove parlare di $k$-forme è palesemente un overkill (e mi verrebbe da dire nemmeno nelle intenzioni dell'autore del testo al quale ci si rifereisce).

[Fioravante Patrone]

...
Non ho mai parlato di questo, mi spiace di non esser stato chiaro.

La definizione di funzione crescente "in un punto" (e non in un intorno di esso), a cui io e Fioravante ci stavamo riferendo, è la seguente: sia \(f:T\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(x_0\) di accumulazione di $T$; diciamo \(f\) crescente in \(x_0\) se esiste un intorno \(U\) di \(x_0\) tale la funzione \(\Delta_{x_1}\) come definita prima (rapporto incrementale di \(f\), calcolato a partire da \(x_1\)) sia \(>0\) in \(U\setminus\{x_1\}\).
Questo non implica che la funzione sia crescente nel senso precedente (a proposito, è una definizione che ho letto sul Prodi, che mi sembra di ricordare che tu conosca, e la dimostrazione del post precedente credo che, forse a parte la notazione, sia pari pari a quella del testo).

In realtà è una def. che trovo simpatica: se sono costretto ad avere a che fare con testi di fisica mi immagino un punto appartenente all'intorno come un "punto molto vicino a $x_1$" e vedo ivi il mio punto materiale essere andato un po' più avanti rispetto a quanto era prima, perché la sua velocità è positiva. È un po' un modo per convivere con i $d\text{qualsiasicosa}$, in contesti dove parlare di $k$-forme è palesemente un overkill (e mi verrebbe da dire nemmeno nelle intenzioni dell'autore del testo al quale ci si rifereisce)

Ciao a tutti e due. Non avevo visto che la chiacchiera era continuata.
La def di funzione strettamente crescente in un punto, l'avevo trovata (quando ero una implume matricola) sul libro di testo Cecconi-Stampacchia, usato per il corso di AM I che teneva Cecconi. Non ricordo, ma ho la sensazione che a suo tempo non avessi colto la "sottile differenza" di cui si sta discutendo qui
Francamente, emanerei un editto di interdizione per questo termine, visto che la "crescenza in un punto" non serve a niente

Riguardo la tuo "ot", che ho trasformato in "blu", non condivido la tua "simpatia"
Però ti dò una notizia in anteprima: appena ne avrò il tempo, scriverò un post (nel mio blog) sull'uso degli infinitesimi in equitazione