Buongiorno. Oggi propongo un altro esercizio che più ci penso, più mi fa venire dei dubbi
Si consideri l'insieme $ NN $ dotato della topologia discreta e sia $ X= { x_n, x_2} uu NN $ dove $ x_n, x_2$ sono due punti aggiuntivi. Si dichiari che gli unici aperti che contengono $ x_i $ sono ${x_i} uu NN $ e $ X $ , e si dimostri che in tal modo si ottiene una topologia su $ X $ . Si dimostri infine che i due sottoinsiemi $ Y_i={x_i } uu NN $ sono compatti in $ X $, ma che la loro intersezione non lo è
Io l'ho provato a fare così
Gli unici aperti di $ { x_i } $ sono $ { x_i } uu NN $ perché $ x_i $ è un aperto in quanto intorno di sé stesso ed $ NN $ dotato di topologia discreta è aperto ( quindi abbiamo unione di aperti). $ X $ è aperto perché $ X $ è aperto di sé stesso. (Primo dubbio: ma ogni $ x_i $ non è pure aperto? Quindi ce ne stanno altri aperti contenenti $ x_i $ contrariamente alla traccia? )
Verifico che $ ( X,\tau) $ è una topologia
1) $0\ in \tau $ (ma il vuoto dov' è? ) $ X in \ tau $
2) $ uuu a_i in \tau $ dove con $ a_ i $ indico tutti i sottoinsiemi di $ X $ (quindi ad esempio $ x_1 uu { 1,...n | n in NN }$)
3) $ nnn a_ i in \ tau $.
Quindi $(X, \ tau ) $ è una topologia.
Gli $ Y_ i$ sono compatti in $ X $ perché è una compattificazione di $ NN $
$ Y_1 nn Y_ 2= { { x_1} uu NN} nn { { x_2 } uu NN}= NN $ che non è compatto perché un suo possibile sottoricoprimento è lui stesso e non è finito