Problema di trigonometria

[niccoset]

Calcolare seno e coseno di $ pi/5 $.

[dan95]

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Uso il metodo di Gauss giusto per divulgarlo un po'

Chiamiamo $R=e^{\frac{2\pi i}{5}}$ sappiamo che $R$ soddisfa l'equazione $R^5-1=0$ in particolare

$R^4+R^3+R^2+R+1=0$

Poniamo $x_1=R+R^4$ e $x_2=R^2+R^3$, notare che $R^4=R^{-1}$ quindi $R+R^4=2\cos(2\pi/5)$, ora

$x_1+x_2=-1$ e $x_1x_2=-1$

Questo ci porta all'equazione di secondo grado

$X^2+X-1=0$

Di cui ci interessa solo la prima soluzione $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ da cui $\cos(2\pi/5)=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ ora usando la nota relazione $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ otteniamo

$\cos(\pi/5)=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\frac{-1+\sqrt{5}}{4})}$

[Erasmus_First]

@ dan95
In questo specifico caso questo metodo ... non mi piace.
Si può rispondere restando nell'ambito delle funzioni circolari seno e coseno e senza far uso del consueto metodo geometrico – tanto caro ai manuali di algebra per i licei – basato sul triangolo isoscele con angolo al vertice di 36°, [quello che arriva a stabilire che il doppio del seno di 18° è la sezione aurea di 1 ].

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Posto $x = π/10$ viene $π/5=2x$; ed il complementare di $π/5$, [cioè $π/2 – π/5 = 3π/10$], è allora $3x$.
Pertanto, [ricordando che il seno del complementare di un angolo vale il suo coseno e viceversa]:
$sin(3x) = cos(2x)$ e $cos(3x) = sin(2x)$. [*]
Calcoliamoci intanto, con le formule di somma, $cos(3x)$ in funzione di $cos(x)$
[tenendo ovviamente presente che per ogni $x$ $cos^2(x) =1- sin^2(x)$ e $sin^2(x) =1- cos^2(x)$].
Troviamo:
$cos(3x)= cos(x)cos(2x)–sin(x)sin(2x) =cos(x)[2cos^2(x)–1] - 2[1-cos^2(x)]cos(x) =$
$= 4cos^3(x) – 3cos(x)$.
Con ciò, la seconda di [*], cioè $cos(3x) = sin(2x)$, diventa
$4cos^3(x) – 3cos(x) = 2sin(x)cos(x)$;
dalla quale, essendo $cos(x)≠0$, ricaviamo:
$4[1-sin^2(x)] – 3 = 2sin(x)$ ⇔ $sin^2(x) + 1/2sin(x) - 1/4 = 0$ ⇒
⇒ $sin(x)= (sqrt5-1)/4 = sqrt(6-2sqrt5)/4$ ⇒ $cos(x)=sqrt(10+2sqrt5)/4$.
In conclusione:
$sin(π/5) = sin(2x) = 2sin(x)·cos(x) = (2sqrt(6-2sqrt5)sqrt(10+2sqrt5))/16 = sqrt(10-2sqrt5)/4$;
$cos(π/5)= cos(2x) = 2 cos^2(x) – 1 = (5+sqrt5)/4-1 = (sqrt5 + 1)/4$.
[In sostanza, conviene dapprima ricavare seno e coseno di π/10 e poi usare le formule di duplicazione.]

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[niccoset]

La soluzione finale è quella proposta da Erasmus_First. La mia soluzione (pur non sapendo che si tratta di un approccio standard di molti libri di algebra per licei) consisteva proprio nel disegnare un triangolo isoscele con angolo al vertice di $ pi/5 $ e nello sfruttare il teorema secondo il quale il lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta.

[dan95]

Bella la soluzione di Niccoset, non conoscevo quel teorema...

@Erasmus

A me piace, oh!

[Erasmus_First]

[...] non conoscevo quel teorema...

Impossibile!
Diciamo che non te lo ricordi.
Trovami un manuale che tratti di trigonometria e che nel trovare valori notevoli delle funzioni circolari non sfrutti il teorema ... che ti metto in bella nella immagine PNG che segue.

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[@melia]

Molti testi non riportano il problema nel paragrafo di calcolo delle funzioni goniometriche, ma in qualche paragrafo successivo con titoli tipo: la sezione aurea e il lato del decagono