Curve di livello e gradiente

[mobley]

Non ho mai trovato un'esercizio simile in un esame, e non mi sembra che l'argomento ci sia stato nemmeno accennato a lezione. Ma tant'è, me lo sono ritrovato in uno degli ultimi compiti.
Il testo è il seguente:
Dimostra che la funzione $h(x,y)=x^2+y^2$ è differenziabile in tutto $R^2$. Quindi disegnane le curve di livello ed il gradiente nei punti $(1,1)$, $(1,0)$ e $(-2,1)$.

Il dominio della funzione è tutto $R^2$, quindi la funzione è continua ovunque.
Le derivate parziali prime (rispettivamente $h_x(x,y)=2x$ e $h_y(x,y)=2y$) sono definite ovunque, quindi $h(x,y)$ è derivabile in $R^2$. Allora, per la condizione sufficiente per la differenziabilità $h(x,y)$ è ovunque differenziabile.
Ora non so proprio come approcciarmi allo svolgimento del secondo punto. Potreste spiegarmi:
1) cosa sono le curve di livello e come si disegnano?
2) come disegnare il gradiente? Io so soltanto "calcolarlo" nei punti, ovvero sostituendo alle derivate parziali i punti forniti.

[anto_zoolander]

Ciao mobley

data una funzione $f:D->RR$
le curve di livello sono gli insiemi $L(f, lambda)={(x,y) in D| f(x,y)=lambda}$ quindi sono insiemi su cui la funzione vale costantemente $lambda$. Il motivo per cui vengono chiamate curve è dato dal teorema del Dini che ti dice quando, sotto opportune ipotesi, quell'insieme rappresenta il sostegno di una curva

il gradiente è un vettore per disegnarlo: basta che lo applichi sul punto in cui lo calcoli.

[mobley]

Ciao mobley

data una funzione $f:D->RR$
le curve di livello sono gli insiemi $L(f, lambda)={(x,y) in D| f(x,y)=lambda}$ quindi sono insiemi su cui la funzione vale costantemente $lambda$. Il motivo per cui vengono chiamate curve è dato dal teorema del Dini che ti dice quando, sotto opportune ipotesi, quell'insieme rappresenta il sostegno di una curva

il gradiente è un vettore per disegnarlo: basta che lo applichi sul punto in cui lo calcoli.

Ti ringrazio per la risposta. Potresti spiegarmi come calcolarle? Cosa devo fare nel caso in questione?

[anto_zoolander]

Prendi un $lambdageq0$ e considera l'insieme $L(f, lambda)={(x,y) in RR^2: x^2+y^2=lambda}$
quindi le curve di livello sono date dalle circonferenze di centro nell'origine e raggio $sqrt(lambda)$

di fatto se prendi la curva $phi(t)=(sqrt(lambda)cos(t),sqrt(lambda)sin(t))$ con $t in [0,2pi]$ puoi vedere che $f(phi(t))$ vale costantemente $lambda$ e il sostegno di $phi$ descrive tutto l'insieme $L(f, lambda)$ al variare di $lambdageq0$

[dissonance]

Non ho mai trovato un'esercizio simile in un esame, e non mi sembra che l'argomento ci sia stato nemmeno accennato a lezione. Ma tant'è, me lo sono ritrovato in uno degli ultimi compiti.

Dai mobley, questo è VERAMENTE facile.

Il testo è il seguente:
[i]Dimostra che la funzione $h(x,y)=x^2+y^2$ [...]
1) cosa sono le curve di livello e come si disegnano?
2) come disegnare il gradiente? Io so soltanto "calcolarlo" nei punti, ovvero sostituendo alle derivate parziali i punti forniti.

Cosa siano le curve di livello te l'ha detto anto_zoolander, anche se in modo leggermente troppo complicato perché ha citato cose non necessarie. Qui è proprio una banalità: si tratta di disegnare gli insiemi \( \{x^2+y^2=\lambda\}\) al variare di \(\lambda\in \mathbb R\). Lo sanno anche i sassi, e lo sai bene pure tu, che sono circonferenze.

Quanto al gradiente, si tratta anche qui di una richiesta davvero molto semplice. Il gradiente è un vettore, vero o no? Un vettore si disegna come una freccetta. Calcola queste freccette e disegnale nei punti che ti sono stati chiesti. La cosa interessante di questo esercizio è riflettere sulla relazione tra queste freccette e le curve di livello.

[mobley]

Eh sarà anche facile ma se uno non ne ha mai sentito parlare e all'ultimo compito se le ritrova nel testo rimane quantomeno basito.
In ogni caso ho capito:
1) per disegnare le curve di livello basta porre $f(x,y)=lambda$ ed esplicitare la $y$ nel caso ad es. di una parabola, oppure tracciare direttamente la circonferenza come in questo caso dotata di raggio $sqrt(lambda)$. Sostituisco a $lambda$ dei reali arbitrari e traccio le circonferenze concentriche con centro in $(0,0)$.
2) il gradiente è graficamente rappresentato come un vettore di componenti le derivate parziali calcolate nel punto, quindi con origine nel punto fornito e fine in $(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$.

[dissonance]

No, sul gradiente è sbagliato. Devi disegnare quello che in fisica si chiama "vettore applicato", spiccato nel punto che ti viene assegnato

[mobley]

No, sul gradiente è sbagliato. Devi disegnare quello che in fisica si chiama "vettore applicato", spiccato nel punto che ti viene assegnato

E' quello che ho detto Dato il punto $(-2,1)$, il gradiente è un vettore "freccetta" che "spicca" in $(-2,1)$ e termina in $(-4,2)$.

[dissonance]

Mannaggia, sono al cellulare e mi è difficile scrivere. Se il tuo vettore è (-2, 1),allora hai ragione, spiccandolo in (-2,1) esso termina in (-4,2). Se, per esempio, il vettore è (1,0), allora spiccandolo in (-2,1) termini in (-1,1). Devi sommare le componenti

[Mathita]

Attenzione, il gradiente in $(-2,1)$ è $\nabla f(-2,1)=(-4,2)$. Nel momento in cui rappresenti il vettore, esso ha punto di applicazione in $(-2,1)$ (punto di partenza) e la punta della freccia che tocca il punto $(-6,3)$; Come dice giustamente dissonance, bisogna sommare le componenti per ricavare il punto in cui termina il vettore.

Ad ogni modo quoto tantissimo l'onnicitato dissonance

... La cosa interessante di questo esercizio è riflettere sulla relazione tra queste freccette e le curve di livello.

Ti invito a rivedere la teoria sull'argomento perché ti servirà a capire molte dimostrazioni che seguono questi argomenti.