"Fissato nello spazio un riferimento affine ortogonale e monometrico:
(i) Si scriva una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana del piano per
i punti A(1; 1;-5); B(0;-1; 2) e C(1/3;-1/5;-1).
(ii) Si scriva una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana della retta r
per P(1; 1; 1) ortogonale al piano.
(iii) Stabilire la posizione reciproca e la distanza tra la retta r e la retta s: $ { ( x+y+2=0 ),( y-z=0 ):} $"
In ordine:
(i) calcolo il vettore direzionale v come differenza tra il punto A e il punto B: $ (1, 0, -7) $
Calcolo il vettore direzionale v' come differenza tra il punto C e il punto B: $ (1/3, 4/5, -3) $
Prendo B come punto di passaggio e ottengo:
$ pi :{ ( x=1/3t+s ),( y=-1+4/5t ),( z=2-3t-7s ):} $
Trasformo in cartesiana:
$ pi : 7x+13/12y+z+7/6=0 $
(ii) Considero il vettore (7, 13/12, 1) ortogonale al piano come vettore direzionale della retta r.
$ { ( x=1+7t ),( y=1+13/12t ),( z=1+t ):} $
In forma cartesiana:
$ { ( x-7z+6=0 ),( 12y-13z+1=0 ):} $
(iii) Deduco la posizione reciproca delle rette a partire dalle matrici dei coefficienti:
$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 0 , -7 ),( 0 , 12 , - 13 ) ) $ è la matrice incompleta e ha rango 3.
$ ( ( 1 , 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , -7 , -6 ),( 0 , 12 , -13 , -1 ) ) $ è la matrice completa e ha rango 4.
Poiché la matrice completa ha rango maggiore della matrice incompleta, le due rette sono sghembe.
Per calcolare la distanza tra due rette sghembe, trovo un piano passante per s che sia parallelo ad r, prendo un punto passante per r e calcolo la distanza tra quel punto e il piano.
Affinché il piano sia parallelo ad r, impongo che $ n = (1, 0, -7) $ , vettore normale ad r, sia normale anche al piano:
$ pi ' : x-7z+k= 0 $
Il piano deve passare per un punto di s, ad esempio (-2, 1, 1):
$ -2-7(1)+k= 0 $
$ k=9 $
L'equazione del piano è $ pi ' : x-7z+9=0 $
Prendo il punto $ P (-6, -1/12, 0) $ passante per r. La distanza punto-piano è:
$ (|ax_0+by_0+cz_0+d|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))=(|-6+9|)/(sqrt9)=3/3=1 $