Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda Unipa97 » 08/11/2018, 20:35

Il problema è il seguente: al tempo t = 0 una sfera omogenea di massa M e raggio R viene lanciata tangenzialmente a un piano orizzontale e scabro con velocità iniziale v zero e senza alcuna rotazione intorno al suo asse. Inizialmente il punto di contatto striscia sul piano. Ma dopo un tempo t lo strisciamento si arresta e la sfera inizia a muoversi con moto di puro rotolamento. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra sfera e piano è μ, ricavare:
L’intervallo di tempo t necessario affinché inizi il puro rotolamento.
Io ho provato a fare vari ragionamenti ma non sono giunto al risultato corretto che è = (2vzero)/(7μg). :(
Grazie mille in anticipo!
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Re: Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda professorkappa » 08/11/2018, 23:54

Quali ragionamenti hai fatto?
Questo esercizio e' un classico, ne trovi a bizzeffe su questo forum, e puoi risolverlo in 2 o 3 modi diversi (personalmente preferisco usare la cons. del momento angolare unitamente al teorema dell'impulso).
Facci vedere come imposteresti il problema
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Re: Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda Unipa97 » 09/11/2018, 11:20

Ho ragionato così: ho trovato l’accelerazione facendo fa= ma, con a = accelerazione del centro di massa,poi per trovare la velocità del centro di massa, che ho considerato essere quella finale, ho fatto la conservazione del momento angolare dato che nel moto di puro rotolamento le forze di attrito non compiono lavoro( giusto?), quindi, m Vo R = ωI con ω= Vcm/R. E poi ho applicato la legge del moto uniformemente accelerato Vo = V + at. E non mi viene. Se è giusto questo ragionamento magari ho sbagliato I, non so!
Aiutatemi vi prego! Grazie in anticipo :cry:
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Re: Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda Shackle » 09/11/2018, 16:54

Il moto per un certo tratto è costituito da rotolamento con strisciamento. LA velocità di traslazione del CM diminuisce, quella angolare aumenta , finché si arriva alla condizione di rotolamento puro : $v= omegaR$ .

Guarda questo esercizio , oppure cerca altri esercizi analoghi , usando la funzione "cerca" (tasto in alto a destra . Tu hai una sfera , nel link c'è un disco, quindi cambia qualcosa.

Segui il suggerimento del professorkappa .
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Re: Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda Unipa97 » 09/11/2018, 18:00

Il ragionamento che ho fatto io è corretto?
Se si avevo il dubbio se il momento angolare andasse calcolato rispetto al punto di contatto o rispetto al centro di messa... perché fino adesso avevo incontrato esercizi con il puro rotolamento dove il momento d’inerzia andava calcolato rispetto al CM.
Quindi non riesco a capire quando va calcolato rispetto al CM e quando rispetto al punto di contatto.
Si ho visto altri esempi peró non mi sono tolto il dubbio sul momento d’inerzia e sul mio ragionamento. Grazie mille
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Re: Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda professorkappa » 09/11/2018, 19:58

Unipa97 ha scritto:Ho ragionato così: ho trovato l’accelerazione facendo fa= ma, con a = accelerazione del centro di massa

Fin qui, tutto ok.

Unipa97 ha scritto:,poi per trovare la velocità del centro di massa, che ho considerato essere quella finale, ho fatto la conservazione del momento angolare dato che nel moto di puro rotolamento le forze di attrito non compiono lavoro( giusto?)
. Qui confondi 2 concetti diversi: quando inizia il puro rotolamento, e' vero che la velocita non varia e proprio perche' le forze in gioco non fanno lavoro (in virtu' del teorema delle forze vive: la var. di en. cin. e' pari al lavoro delle forze esterne.
Ma la conservazione del momento angolare avviene quando la risultante dei momenti e' nulla.
Se scegli un polo qualsiasi sul piano, il momento angolare si conserva lungo TUTTO il movimento del corpo, anche quando striscia, perche' la forza d'attrito non ha braccio rispetto al polo e di conseguenza il suo momento e' sempre nullo: ergo, il mom. angolare si conserva.

,
Unipa97 ha scritto: quindi, m Vo R = ωI con ω= Vcm/R.

Questo e' sbagliato proprio: avendo scritto $mv_oR$ come mom. angolare iniziale, implicitamente hai scelto il polo che ho indicato prima, cioe' un polo sul terreno. A secondo membro, il polo deve rimanere lo stesso: se lo esprimi come $Iomega$, stai implicitamente spostando il polo, portandolo all'altezza R.

La conservazione del momento angolare formulata correttamente e' $mv_0R=mvR+I_[cm]omega$

A questa equazione va aggiunta $v=v_0-at$ e ovviamente la condizione di puro rotolamento $omega=v/R$ e da qui trovi il tempo.
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Re: Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda Shackle » 09/11/2018, 21:38

Unipa97 ha scritto:Il ragionamento che ho fatto io è corretto?


Quale ragionamento ? Questo ? Vedo un po' di confusione.
Comunque nel frattempo ti ha risposto esaurientemente professorkappa.

Aggiungo solo una cosa. Forse non ti è chiaro un punto, e cioè che nella prima parte del moto la sfera rotola e striscia sul piano, la velocità angolare aumenta e la velocità di traslazione del CM diminuisce.
Il rotolamento diventa "puro" quando è finalmente soddisfatta la condizione : $v_f= omega_fR$ . In questo istante, la conservazione del momento angolare rispetto al polo preso sul piano , anche coincidente col punto di contatto $P$ tra sfera e piano1 , consente di scrivere :

$I_P omega_f = MRv_0$

e cioè :
$ (2/5MR^2 + MR^2) omega_f = MRv_0 rarr omega_f R = 5/7v_0$


da cui :

$omega_f = 5/7v_0/R $


Ti lascio a professorkappa ! :smt023

Note

  1. è possibile prendere il polo nel punto di contatto $P$ , poiché esso trasla con velocità parallela alla velocità del CM della sfera
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Re: Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda Unipa97 » 09/11/2018, 21:49

Ok grazie mille per la spiegazione che è stata molto chiara! Grazie
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Re: Problema con moto di puro rotolamento

Messaggioda Shackle » 09/11/2018, 22:42

Io comunque preferisco la via che ho seguito quando abbiamo fatto l'esercizio col disco ,per trovare la velocità di puro rotolamento.

E ha ragione professorkappa, naturalmente, quando richiama l'applicazione corretta della conservazione del momento angolare:
La conservazione del momento angolare formulata correttamente e': $mv_0R=mvR+I_(cm)\omega$


Il secondo membro è l'applicazione della regola seguente (si dimostra nello studio della dinamica del corpo rigido):

"Il momento angolare rispetto ad un polo $P$, fisso o in moto parallelo rispetto a quello del CM, è la somma del momento angolare rispetto al CM ( $= I_(cm)\omega$) e del momento angolare che ha, rispetto al polo $P$ , la massa $M$ concentrata nel CM ( = $MvR$) "

Dovendosi conservare questa somma, occorre uguagliarla al momento angolare iniziale : $Mv_0R$ .

Quando si ha fine rotolamento più strisciamento , e cioè inizio rotolamento puro , si ha : $v_f=omega_fR$

PErciò , l'uguaglianza prima scritta diventa : $Mv_0R = Mv_fR + 2/5MR^2v_f/R $

da cui, con qualche passaggio : $v_f = 5/7v_0 $ , come si era ricavato prima per altra via .
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