Sul piano xOy è presente un campo magnetico diretto lungo z così definito: $B=B_z(y)u_z$, dove $B_z(y)=−B_0$ per $y>0$ e $B_z(y)=+B_0$ per $y<0$. Una particella di massa m e carica positiva q si muove sul piano e a t=0 si trova nell’origine con velocità di modulo $V$ orientata a formare un angolo $θ$ con l’asse $x$. Stabilire, in funzione dell’angolo $θ$, quanto arriva ad allontanarsi dagli assi coordinati la particella e qual è (nelle sue componenti) la sua velocità media su tempi molto lunghi. (Quando si dice tempi molto lunghi, specificare rispetto a cosa si devono intendere molto lunghi)
Mi blocco quasi subito.
Allora la particella parte con velocità "diretta" nel primo quadrante, con la regola della mano destra mi accorgo che,essendo il verso del campo entrante, la forza magnetica spinge la massa verso sinistra. Quest'ultima quindi dovrebbe compiere moto circolare nel secondo quadrante finchè non interseca l'asse y;quando questo succede la particella compirà sempre moto circolare fino ad intersecare di nuovo l'asse y e così via..o sbaglio?
Quindi $mv_0^2/R= -qvB_0 rarr R=(mv_0)/(qB_0)$ = raggio del ciclotrone.
Però da qui non so più andare avanti.
Se qualcuno fosse così paziente da postare anche un'immagine ne sarei ben felice.
Vi lascio le soluzioni:
Testo nascosto, fai click qui per vederloLa particella compie alternativamente moti di ciclotrone con raggi di curvatura opposti. Come si deduce anche dalla rappresentazione grafica, gli archi di ciascun moto sottendono un angolo pari a $2θ$. Ogni arco viene percorso in un tempo $∆t=((2θ)/(2π))T_(cicl)$, dove $T_(cicl)=(2πm)/(qB)$ è il periodo di ciclotrone.
Ogni arco sottende una corda lunga $2R_(cicl)sinθ$, e si discosta al massimo di $R_(cicl)(1−cosθ)$ da tale corda, dove $R_(cicl)=(mv)/(qB) $è il raggio di ciclotrone.
Quindi la particella si sposta in direzione x mentre oscilla periodicamente con periodo $2∆t$ in direzione y, la massima distanza raggiunta dall'asse x è, come si è detto, $m(v)/(qB) (1−cosθ)$; la velocità media in direzione x può essere calcolata su un periodo del moto (in realtà qui basta un semiperiodo $∆t$, cioè il tempo necessario a coprire una corda) oppure su tempi assai maggiori di $∆t$. Sostituendo i valori calcolati sopra si ottiene$ <vx>=(v sinθ)/θ$.
Non riesco a capire la geometria del problema..dove sono questi angoli $2theta$ o queste corde ecc..
Vi ringrazio