Salve a tutti, ho delle difficoltà nel risolvere il seguente esercizio.
Un sottoinsieme $A$ di un anello $R$, $A\ne\emptyset$ è detto $\text{adeal}$ di $R$ se
$(i)$ $a,b\in A$, allora $a+b\in A$;
$(ii)$ $r\in R$, $a\in A$, allora $ar\in A$ e $ra\in A$.
Provare che
$(a)$ Un adel $A$ di $R$ è un ideale di $R$ se per ogni $a\in A$ esiste un intero $n\ne 0$, dipendente da $a$,
tale che $na\in aR+Ra$ [Questa condizione, in particolare, è soddisfatta, se $R$ possiede l'unità moltiplicativa].
$(b)$ Quando $R$ è un anello commutativo, la condizione $(a)$ è necessaria e sufficiente affinché sia un ideale.
Suggerimento: Per $a\in R$, l'insieme $A=\{na|n\in\mathbb{Z}_+\}+aR$ è un adel di $R$; dunque un ideale di $R$.
$\text{Tentativo di svolgimento}:$
$(a)$ Se $A$ è un adel, per mostrare che $A$ è un ideale, è sufficiente mostrare che se $a\in A$, allora $-a\in A$. Dunque, è sufficiente mostrare che se $a\in A$, $\existsm \ge 1$ tale che $-ma\in A$. Se $m=1$ siamo apposto e se $m>1$, allora prendiamo $(m-1)a+(-ma)=-a\in A$. Ora non so come procedere vista questa premessa. Qualcuno potrebbe darmi una mano su come procedere?
Vi ringrazio!