Correzione esercizio gusci sferici

[umbe]

Una sfera metallica cava di raggio $R$ ha una carica $+2Q$. Un’altra sfera cava di raggio $3R$ è posta in posizione concentrica con la prima sfera e ha carica netta $–Q$.
a) Usando il teorema di Gauss trovare un’espressione del campo elettrico in funzione della distanza r dal centro. b) Calcolare la differenza di potenziale tra le due sfere.
Allora, per $r<R$ ovviamente il campo sarà nullo. Sarà invece dato dal contributo delle due cariche per la distanza tra le due sfere $E=(2Q-Q)/(16\pi\epsilon_0R^2)$ dove $4R^2$ è il quadrato della distanza tra le due sfere. La d.d.p. sarà di conseguenza $(2Q-Q)/(8\pi\epsilon_0R)$. Giusto?

[umbe]

Qualcuno mi può aiutare per favore?

[dRic]

No mi pare. Per trovare il campo tra le due sfere usa il Teo di gauss, come dice il testo. Costruisci una superficie sferica con stesso centro di quelle già date e di raggio r con R < r <3R. Cosa dice Gauss?

[umbe]

Eh appunto, ricorrendo a Gauss avrò: per $R<r<3R$ $E4\pi4R^2=Q/(\epsilon_0)$. Cosa ho sbagliato?

[dRic]

Se non ho capito male la geometria del problema non capisco come faccia a venirti quel risultato...

$E * A = \frac {q} {\epsilon_0}$

per $ R < r < 3R$

con $A = 4*pi*r^2$ e $q$ è la carica racchiusa dalla superficie e quindi $q = 2Q$.

Metti insieme e viene $\vec E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {2Q} {r^2} \vec u_r$

[umbe]

Eh, ma non consideriamo il contributo della carica sul guscio esterno?

[dRic]

Il teorema di gauss dice che il flusso del campo attraverso una superficie è proporzionale alla quantità di carica racchiusa dalla superficie. Quindi devi prendere solo quella che sta dentro la superficie che stai considerando.

Se non ti convince pensa a quanto varrebbe il campo elettrico tra il centro della sfera e 3R se non ci fosse la sfera di raggio R, ma ci fosse solamente quella di raggio 3R.

[umbe]

È vero, mi ero scordato. $\Phi=Q_int/(\epsilon_0) $. Quello che ho scritto io (ovviamente cambiando la distanza a denominatore) vale per $r>3R $ giusto?

[dRic]

per $r>3R$ la carica interna è $2Q-Q = Q$

[umbe]

Oh, mi ero scordato di risp, tra tutti gli argomenti che apro. Chiedo scusa. Buon Natale intanto.
Dopo avere ripassato, direi:
- per $r<R$ $E=Q/(2\piepsilon_0R^2)$;
- per $R<r<3R$ $E=Q/(8\pi\epsilon_0R^2)$;
- per $r>3R$ $E=Q/(4\pi\epsilon_0r^2)$ con $0<r<\infty$.