@dissonance
Grazie
@Draken
Per completezza: una cosa che si può fare è quella di avere un minimo di potere su quello spazio.
L'idea è quella che magari gli spazi che determinano univocamente la scrittura di un vettore, possano darci una certa possibilità di movimento.
la Matematica ha scritto:dato uno spazio vettoriale $V$ e una famiglia $F={V_kleqV: k=1,...,p}$ di sottospazi, diremo che $V$ è in somma diretta di(dei sottospazi) $V_1,...,V_p$ se valgono le seguenti condizioni:
$-$ $V=sum_(k=1)^(p)V_k$ dove $Sigma$ indica la 'somma di spazi vettoriali'
$-$ $forallv in V exists! v_j in V_j(j=1,...,p) : v=sum_(k=1)^(p)v_k$
ora sarebbe facile vedere che:
se $V$ è in somma diretta di $V_1,...,V_p$ allora $dimV=sum_(k=1)^(p)dimV_k$quella dimostrazione si basa sul fatto che, per esempio, se $V_1cap(sum_(k=2)^(p)V_k)={0}$
di fatto se $v in V_1cap(sum_(k=2)^(p)V_k) => {(v=v_1),(v=sum_(k=2)^(p)v_k) :}$ con $v_j in V_j$
$v in V$ e ${(-v_1+sum_(k=2)^(p)v_k=0),(v=v_1):}$
dall'unicità della scrittura deve essere necessariamente $v_1=v_2=...=v_p=0$ in quanto altrimenti $0$ si potrebbe scrivere in almeno due modi: quella di sopra più la scrittura $underbrace(0+....+0)_p=0$ da cui $v=0$
se ti andasse di provare, per induzione, potresti provare l'implicazione di sopra supponendo che $V$ sia in somma diretta di suoi $p$ sottospazi. Questa è una generalizzazione sufficiente della relazione di grassman(su ipotesi restrittive) in quanto risultano equivalenti se si suppone di avere una somma diretta.
Tra l'altro questa è davvero una bella cosa se consideri che ogni spazio finito-dimensionale si potrebbe scrivere in somma diretta delle rette generate dai vettori di una sua base.
@dissonance
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avevi ragione: curare l'esposizione estetica di uno scritto ha il suo perché