Indipendenza lineare e iniettività

[theproofistrivial]

Ma quando mai ho detto che fosse qualcosa di profondo? La prima cosa che ho detto a Daken era che fosse solo una banale riformulazione, che suggerisce come trattare il caso di un insieme di indici infinito o vuoto. Per questo gli ho detto di farsela da solo.
Per quanto mi riguarda, i moduli sono una semplificazione, visto che non c'è un'ipotesi inutile, e li ho usati per poi poter proporre l'esercizio. Se uno non li conosce ci vuole un secondo e mezzo a guardarsi la definizione. Comunque, non è mia abitudine stare a fare polemiche su internet

[axpgn]

Per quanto mi riguarda, i moduli sono una semplificazione, ...

Vedi, il problema sta proprio qui: per te sono una semplificazione, per altri no (che probabilmente sono la maggioranza).
Questione di punti di vista.

Non c'è niente di male nell'avere visioni diverse, anzi, però quando si vuole spiegare qualcosa a qualcuno, si deve tener conto anche del livello di conoscenze dell'interlocutore altrimenti si rischia di peggiorare la situazione anziché migliorarla
IMHO

Cordialmente, Alex

[Daken97]

Per me va bene così, ma alla luce di quella legge, possiamo quindi affermare che l'insieme vuoto è linearmente indipendente, e che quindi è a tutti gli effetti la base del sottospazio banale?

[anto_zoolander]

Ti è stato detto in 180 modi che è una sua base.

[Daken97]

Ti è stato detto in 180 modi che è una sua base.

Sì, il problema è che non erano proprio tutti d'accordo con questa tesi.

[dissonance]

Per me va bene così, ma alla luce di quella legge, possiamo quindi affermare che l'insieme vuoto è linearmente indipendente, e che quindi è a tutti gli effetti la base del sottospazio banale?

Se mi posso permettere, io consiglierei di non dedicare tanto tempo a queste sottigliezze; invece, punta a fare esercizi **concreti**. Se ti piace l'algebra, l'esercizio proposto da theproofistrivial, per esempio, è interessante. Prova a dimostrare la proposizione di questo post. Insomma, calcola qualcosa, non ti perdere in elucubrazioni vuote.

Consigli ai giovani matematici e alle giovani matematiche di Georges Elencwajg (MOLTO consigliato)

[theproofistrivial]

Faccio un attimo di ordine perché sono stato un po’ confusionario anche io, a sto punto tanto vale chiudere il discorso...
Per dimostrare che l’insieme vuoto è linearmente indipendente, puoi usare la def di indipendenza che ti ho detto, e di cui dissonance ha dato un esempio nel caso finito. Il problema è che per usarla devi già essere d’accordo sul fatto che il modulo libero sull’insieme vuoto è lo spazio nullo.
Perché lo è ? Perche’ c'è un’unica funzione lineare dallo spazio nullo in ogni altro R-modulo, e c’è un’unica funzione dall’insieme vuoto in ogni altro insieme. Quindi è soddisfatta la proprietà universale che definisce l’Rmodulo libero su un generico insieme. Questo tra l’altro, è il motivo per cui è utile parlare di moduli in questo contesto, visto che con gli spazi vettoriali, essendo tutti liberi, si confondono le acque.

[theproofistrivial]

Comunque sono d’accordo con dissonance sul fatto che è una cosa che al momento forse ti crea più confusione che altro...

[anto_zoolander]

math-stack

Ad ogni modo sono tutti d’accordo con quella tesi.
Buon proseguimento