Salve, ultimamente, in contemporanea con gli studi, ho voluto provare a dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra usando comunque un po' di analisi (e infatti non so se questa sia la sezione più adatta).
Per dimostrare il teorema ho provato a ragionare così:
1)Per prima cosa dimostriamo che una polinomiale di grado $n$, $p_n(z):CC->CC$ è una funzione suriettiva.
Per fare questo noto che $p_n(z)$ è asintonitcamente equivalente a $z_n$,e poi come si sa $z_n=\rho e^(n\theta i)$ .
Ora faccio $limsu p _((\rho,\theta)->(+oo,+oo)) \rho e^(n\theta i )$ e $limi n f_((\rho,\theta)->(+oo,+oo)) \rho e^(n\theta i )$, che fanno rispettivamente $+oo+ooi$ e $-oo-ooi$ e quindi per il motivo detto prima anche gli stessi limiti però per $p_n(z)$ darebbe gli stessi risultati, e per continuità la funzione assume tutti i valori intermedi ed è quindi suriettiva.
2)Dimostrato che $p_n(z)$ è suriettiva è ovvio che abbia uno zero, che chiameremo $z_0$.
3) Il rapporto $\frac{p_n(z)}{(z-z_0)}$ è nuovamente un polinomio (se $n>=2$) e quindi per il motivo detto prima avrà uno zero.
Ripetendo il procedimento, risulta che $p_n(z)$ ha $n$ zeri e quindi la dimostrazione è finita.