Problema su effetto Doppler

Messaggioda BayMax » 08/12/2018, 00:25

Buonasera a tutti. Mi rivolgo ancora una volta al forum per chiedere delucidazioni su un problema di fisica relativo all'effetto Doppler ed in realtà già risolto, ma ottenendo un risultato diverso da quello del libro. Il problema in questione è tratto dall'Amaldi per i licei scientifici ed il testo è il seguente:

Un agente è fermo sul ciglio della strada dove il limite di velocità è 50 km/h. Punta l'autovelox su di un'auto in avvicinamento e registra un aumento del 10% della frequenza di ritorno rispetto alla frequenza emessa, che è di 30000 Hz.
Qual è la velocità dell'automobilista ?
L'agente multerà l'automobilista ?

Ora, ecco come ho eseguito l'esercizio:

Considero l'autovelox sorgente e l'automobile ricevente. La frequenza percepita dall'auto è la seguente $f'=(v_0+V)/v_0f$ con $f=30 kHz$ frequenza emessa dall'autovelox, $v_0=340 m/s $ velocità del suono nell'aria e $V$ velocità del ricevitore (l'automobile). Ora applico nuovamente l'effetto Doppler considerando l'automobile come sorgente e l'autovelox come ricevitore ottenendo $f''=v_0/(v_0-V)f'$ con $f'$ frequenza trovata in precedenza e $f''$ frequenza ricevuta dall'autovelox pari a $f''=30 kHz + 30/10 kHz = 33 kHz$. Mettendo insieme le due relazioni ottengo $f''=v_0/(v_0-V)*(v_0+V)/v_0f$. Risolvendo rispetto a $V$ ottengo: $V=v_0(f+f'')/(f''-f)$ ottenendo $V=16,2 m/s=58,3(km)/h$ che è un risultato fisicamente sensato, ma non come quello proposto dal libro, pari a $V=1,1*10^2 (km)/h$.

Ora, sono tanto sicuro della correttezza del mio ragionamento da arrivare a dire che il risultato del libro è errato ed è proprio di questo che chiedo conferma a voi.

L'unico modo per ottenere il risultato proposto è usare l'effetto Doppler considerando l'automobile come sorgente e l'autovelox come ricevitore, ma con l'automobile che emette un'onda alla stessa frequenza dell'autovelox: $f''=v_0/(v_0-V)f'$ ottenendo $V=v_0-f/(f'')v_0=30,9 m/s=1,1*10^2(km)/h$. Ora, a mio parere, in quest'ultimo ragionamento c'è una falla, cioè considerare che l'auto emetta con la medesima frequenza dell'autovelox, quando invece, essendo in moto, la frequenza riflessa dovrebbe essere diversa da quella emessa dall'autovelox.

Mi auguro di essere stato sufficientemente chiaro e che qualcuno di voi (che ringrazio sin da ora) possa chiarire il mio dubbio e confermare la mia teoria del risultato errato o smentirla dando ragione al libro di testo.
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda Zero87 » 08/12/2018, 16:56

Salve BayMax, credo che la sezione più opportuna per questo problema sia quella di fisica/fisica applicata/astronomia.
Te lo sposto lì e buon fine settimana. :smt039
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda BayMax » 09/12/2018, 13:50

Zero87 ha scritto:Salve BayMax, credo che la sezione più opportuna per questo problema sia quella di fisica/fisica applicata/astronomia.
Te lo sposto lì e buon fine settimana. :smt039


Grazie mille, Zero87. In effetti subito dopo aver postato la domanda ho notato che esisteva la sezione fisica, ma un po' perché era tardi, un po' per inesperienza non ho spostato il messaggio. Grazie di averlo fatto al mio posto e buon weekend anche a te :smt039 :smt039
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda Palliit » 09/12/2018, 14:44

Ciao BayMax. In effetti, l'uso dell'autovelox come esempio di applicazione dell'effetto Doppler è un classico negli esercizi dei libri di fisica, e in tutti (mi pare) viene spiegato in questi termini: l'auto che riflette gli ultrasuoni si comporta come una sorgente in movimento, per cui l'equazione da usare per la deviazione di frequenza è (nel caso di auto in avvicinamento) la seguente:
$f=f_0/(1-v/v_0)$ .


In effetti, mettendo i dati del tuo problema il risultato è: $v=(1-f_0/f)v_0=(1-10/11)v_0=v_0/11=30.9 " m/s"$, che in sostanza corrisponde al risultato del libro.

Tuttavia ho riflettuto sul tuo ragionamento e ho provato ad analizzare la cosa.

Immagine


All'istante $t_0=0$ il fronte d'onda (1) investe l'auto (blu) e si riflette (rosso), ed il fronte incidente successivo (2) è ovviamente a distanza $lambda_0$.

All'istante $t_1$ il fronte (2) incide sull'auto, che nel frattempo si è avvicinata di un tratto $v*t_1$, e viene riflesso; nel tempo $t_1$ il fronte (2) ha percorso il tratto: $lamda_0-v*t_1=v_0*t_1$, da cui si deduce facilmente: $t_1=lambda_0/(v+v_0)$.

Il fronte riflesso (1) nel frattempo ha percorso verso il rilevatore il tratto: $v_0*t_1$, dunque la lunghezza dell'onda riflessa si può calcolare come distanza tra i fronti riflessi (1) e (2) in rosso:

$lambda=v_0*t_1-v*t_1=t_1*(v_0-v)=lambda_0(v_0-v)/(v_0+v)$ .


Il rilevatore assegna quindi all'onda riflessa la frequenza: $f=v_0/lambda=v_0/lambda_0*(v_0+v)/(v_0-v)=f_0*(v_0+v)/(v_0-v)$ , che corrisponde all'equazione che hai usato tu.


A questo punto i casi sono almeno due:

1. ho sbagliato io qualcosa, in tal caso sono fin d'ora grato a chi mi facesse notare dove;

2. le soluzioni proposte dai libri sull'argomento sono ottenute con una procedura semplificata ma errata in cui si ipotizza che le cose vadano come ho esposto inizialmente.
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda Shackle » 09/12/2018, 19:01

Palliit ha scritto:...l'auto che riflette gli ultrasuoni si comporta come una sorgente in movimento...


Sí , però aspetta un attimo: la frequenza delle onde che arrivano all'auto in movimento non è certamente uguale alla frequenza di emissione dall'Autovelox ! È una frequenza maggiore di quella di emissione , proprio perchè le creste delle onde a cui l'auto va incontro sono ravvicinate tra loro , l'auto è in moto verso la sorgente , no? E "creste ravvicinate" significa minor lunghezza d'onda , cioè maggior frequenza di ricezione delle onde da parte dell'auto in moto .
Riprendo tutto da capo. Una sorgente a riposo emette onde sonore di lunghezza d'onda $lambda$ e frequenza $f_0$ , sicché :

$f_0 = v/\lambda $

in cui $v$ è la velocità del suono in aria : $v = 340 m/s$ (circa) . Ciò significa che il periodo dell'onda emessa è :

$tau_0 = 1/f_0$

se un ricevitore è in quiete rispetto alla sorgente , riceve le onde con lo stesso periodo e dunque la stessa frequenza di emissione.
Supponiamo ora che il ricevitore ( l'automobile) si muova con velocità $u_(oss)$ verso la sorgente stazionaria. Il ricevitore riceve le creste delle onde a intervalli di tempo $tau'$, e nel tempo $\tau'$ il ricevitore si è avvicinato alla sorgente di $u_(oss)*tau' $ ; perciò la lunghezza d'onda $lambda$ rispetto all'aria è legata alla velocità del suono e a quella del ricevitore dalla relazione :

$ lambda = tau' ( u_(oss) + v) rarr \tau' = \lambda/(u_(oss) + v) $

da cui si ricava che la frequenza delle onde rilevate dal ricevitore mobile è :

$ f' = 1/(\tau') = (u_(oss) +v )/\lambda = v/\lambda(1 + u_(oss)/v) = f_0(1+ u_(oss)/v) $

Adesso, l'automobile va considerata come una sorgente mobile , che emette onde verso un ricevitore fisso, cioe l'Autovelox . L'onda inviata dall'automobile ora è emessa con la frequenza $f'$ prima calcolata, però siccome la sorgente è in moto di avvicinamento rispetto al ricevitore ( l'Autovelox), la frequenza di arrivo sarà ancora maggiore:

$f''=v/(lambda'') = v/(lambda' -u_(oss)tau') = v/(\lambda') ( 1/(1- (u_(oss)tau')/(lambda') ))= f' (1/(1-u_(oss)/v)) $

Se al posto di $f'$ s mette il valore prima determinato : $f' = f_0(1+ u_(oss)/v) $ , si ottiene :

$ f'' = f_0(1+ u_(oss)/v)*(1/(1-u_(oss)/v))= f_0 * (v+u_(oss))/(v-u_(oss)) $

questa è la stessa formula ottenuta da PAlliit.

e quindi, essendo $(f'')/(f_0) = 1.1 $, si ricava la velocità $u_(oss)$ , cioè dell'auto. Si ottiene il valore calcolato da BayMax , e non quello del libro . Da notare che , quando : $ u_(oss) <\< v $ , si può porre :

$ f'' = f_0 (1+ u_(oss)/v)^2 $

da cui si ottiene un valore leggermente superiore , circa $u_(oss) = 59.73 (km)/h$

Per ultimo, faccio una osservazione : che io sappia, gli Autovelox lanciano delle onde elettromagnetiche , che viaggiano a velocità $c = 3*10^8 m/s$ , e non delle onde ultrasonore . Nella caso di un segnale luminoso , supponendo sempre che sia $u_(oss) <\< c$ , l'approssimazione detta per ultima è applicabile, rimanendo nell'ambito della meccanica classica.

Spero di aver digitato bene le formule , c'è da impazzire con indici, pedici, frazioni e parentesi ... :-D
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda Palliit » 09/12/2018, 19:13

Shackle ha scritto:Sí , però aspetta un attimo: la frequenza delle onde che arrivano all'auto in movimento non è certamente uguale alla frequenza di emissione dall'Autovelox ! È una frequenza maggiore di quella di emissione , proprio perchè le creste delle onde a cui l'auto va incontro sono ravvicinate tra loro , l'auto è in moto verso la sorgente , no?

Ciao Shackle. E' esattamente quello che sostiene l'OT e quello che ho mostrato nel mio messaggio: l'ipotesi che ho descritto inizialmente è quella che fanno molti dei testi per le superiori in cui compare questo esercizio, ed è a mio avviso errata.
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda Shackle » 09/12/2018, 20:38

Concordo con te e con BayMax .
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda BayMax » 09/12/2018, 20:45

Grazie infinite a "Palliit" e "Shackle" per le spiegazioni, assolutamente chiare e precise.

Palliit ha scritto:A questo punto i casi sono almeno due:

1. ho sbagliato io qualcosa, in tal caso sono fin d'ora grato a chi mi facesse notare dove;

2. le soluzioni proposte dai libri sull'argomento sono ottenute con una procedura semplificata ma errata in cui si ipotizza che le cose vadano come ho esposto inizialmente.


In effetti anche io a questo punto, dal basso della mia ignoranza, non posso che ipotizzare la correttezza del tuo secondo caso, cioè che il libro usi una procedura semplificata, tuttavia non tenendo conto dell'effettiva fisica del fenomeno e della frequenza dell'onda riflessa diversa da quella incidente sull'auto. Sebbene sia strano considerando la "qualità" del testo che reputo davvero un buon testo, preciso ed anche sufficientemente approfondito per uno scientifico, non vedo altra alternativa. Grazie Palliit anche per il disegno davvero esaustivo, meglio di così non avrei potuto sperare :smt023

Shackle ha scritto:
Palliit ha scritto:...l'auto che riflette gli ultrasuoni si comporta come una sorgente in movimento...


Sí , però aspetta un attimo: la frequenza delle onde che arrivano all'auto in movimento non è certamente uguale alla frequenza di emissione dall'Autovelox ! È una frequenza maggiore di quella di emissione , proprio perchè le creste delle onde a cui l'auto va incontro sono ravvicinate tra loro , l'auto è in moto verso la sorgente , no?


Concordo con quanto detto e ringrazio anche "Schackle" per aver spiegato nel migliore dei modi ed usando per bene la fisica quanto ho cercato di esprimere troppo sinteticamente e con poco criterio :-D
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda Palliit » 09/12/2018, 21:38

Shackle ha scritto:Concordo con te e con BayMax .
Ti ringrazio per la conferma, Shackle; l'ho presa un po' alla larga proprio perché tutti gli esercizi di questo tipo (anche in testi di tutto rispetto) che mi sono capitati sotto mano riportavano soluzioni che a questo punto devo ritenere sbagliate.
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Re: Problema su effetto Doppler

Messaggioda Shackle » 09/12/2018, 23:20

Grazie a voi. Siccome quando metto mano a un argomento mi piace approfondirlo, e siccome l'errore è sempre in agguato dietro l'angolo :-D , ho fatto un po' di ricerche. Oltre alle solite trattazioni sull'effetto Doppler, ho trovato questo articolo di Wikipedia in inglese :

https://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_radar

qui si parla di segnali radar riflessi da un target in movimento, ma comunque il senso fisico è lo stesso.
Richiamo la vostra attenzione su questo pezzo :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


dove si affermano un po' cose importanti . La prima è che la formula per il Doppler shift è la stessa di quella che si ricava per la riflessione della luce da parte di uno specchio in moto, e non occorre la relatività per dimostrarla in quanto l'osservatore è uno solo, qui. Ma lasciamo da parte questo. La seconda cosa è la formula :

$f_r = f_t * (c+v)/(c-v) $

che dà la frequenza ricevuta $f_r $ (dopo riflessione da parte del target mobile e ritorno alla sorgente) in funzione della frequenza $f_t$ originale emessa , ed è identica a quella ricavata da PAlliit e dal sottoscritto nei post precedenti : questo mi conforta... :oops: :D

LA terza cosa importante è che , calcolando la "Doppler frequency" come differenza $f_r - f_t$ si ha :

$f_d = f_r - f_t = f_t [(c+v)/(c-v) -1 ] = (2vf_t)/(c-v) \approx 2(vf_t)/c $

Questa "Doppler frequency" deve essere importante, credo, nello studio dei radar, come descritto qui . Ma non ne sono al corrente .

Saluti .
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