Sono riuscito ad arrivare alla matrice modale pero' non riesco a calcolare gli autovettori .
Mi servirebbe qualcuno che gli dia un'occhiata e verifica se il ragionamento eseguito e' giusto .
Per favore , datemi un'aiuto ..
Svolgimento esercizio:
$ dot(x) =( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 ,2 ) ) x+ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) *u $
$ y= ( 1 \ \ 0 \ \ 1 ) x$
(questo è un sistema strettamente proprio perché’ non compare u(t) , non c’è dipendenza esplicita dell’uscita y(t) dell’ingresso u(t)
La matrice di stato è la seguente :
$ F = ( ( 1 , 1 , 2 ),(0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
L’obiettivo è quello di calcolare la matrice esponenziale di F , e^Ft è definita nel seguente modo :
$ e^Ft=I+Ft+1/(2!)(Ft)^2+1/(3!)(Ft)^3...$
Mi calcolo gli auto valori della matrice .
Il determinate $ det(F-lambda I) = det(F)= -2$
Il polinomio caratteristico e’ : $ -lambda ^3+2lambda ^2+lambda -2=0 $
Le radici sono : $ lambda _1=2 , lambda _2=-1,lamda_3=1$
Mi calcolo gli auto valori per ognuna delle radici :
( Non scrivo tutti passaggi per questioni di spazio )
$ nu _1=(7,1,3) , nu _2=(-1,2,0),nu _3=(1,0,0) $
Finalmente mi posso calcolare la matrice esponenziale e^FT usando la forma canonica di Jordan e la matrice modale .
$ F = ( ( 1 , 1 , 2 ),(0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Conosciamo gli auto valori di questa matrice e sono reali e distinti . Noti gli auto valori , possiamo andare a determinare la forma canonica di Jordan equivalente ad F : essendo F una matrice di ordine 3 e avendo trovato 3 auto valori reali e distinti , la matrice di Jordan sarà una matrice di ordine 3 avente mini blocchi coincidenti con i tre auto valori .
$ J=( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0, 1 ) ) $
A questo punto mi calcolo l’esponenziale di questa matrice :
$e^(jt)=( ( e^(2t) , 0 , 0 ),(0 , e^(-t) , 0 ),( 0 ,0 , e^(t) ) )$
A questo punto l’obiettivo e’ l’applicazione della relazione $ e^(Ft) = Me^(jt)*M^(-1)$ , per cui devo individuare la matrice Modale e successivamente la sua inversa .
A questo scopo , dobbiamo trovare gli auto vettori associati ai due auto vettori della matrice F.
L’auto valore associato all’auto valore :
$ (lambda I- F)x=0$
Applicando questa formula , la forma estesa è la seguente :
$2*( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) -( ( 1 , 1 , 2),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) *( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) =
| ( x_1 , -x_2-2 , x_3 ),( , 3x_2 ,-x_3 ),( , 0 , ) |$
Lo stesso discorso per $lamda_2=-1$ e risulta :
$| ( -2x_1 , -x_2 , -2x_3 ),( , -x_3 , ),( , -3x_3 , ) |$
Per $ lambda_3 = 1 $ , vale : $| ( -x_2 , , -2x_3 ),( 2x_2 , ,-x_3 ),( , -x_3 , ) | $
A questo punto NON riesco ad andare avanti perché non riesco a calcolarmi gli
Auto vettori associati della matrice modale :
MI aiutate per favore ?
