Premetto che mi sto affacciando da poco alla materia, quindi perdonerete le eventuali castronerie.
Ho trattato teoricamente la maggior parte delle variabili aleatorie notevoli sia discrete che continue, e mi trovo ora a studiare la trasformazione di variabili. Tuttavia ho alcuni dubbi che spero possiate aiutarmi a chiarire.
Vi propongo alcuni esercizi in cui questi dubbi saltano fuori.
Es. 2 - Sia $ X~ U(0,1) $ e sia $ Y=-1/\lambdalnX$ con $\lambda>0$. Si calcoli la densità di $Y$.
Anche in questo caso densità nota (come sopra), ma $g(X)$ non monotona: non posso applicare la legge di trasformazione.
Posso comunque scrivere:
$ F_Y(y)=P(Y<=y)=(-1/\lambdalnX<=y)=P(X>=e^(-\lambda y))=1-P(X<=e^(-\lambda y))=1-F_X(e^(-\lambda y)) $
Tra i suggerimenti all'esercizio viene detto che $F_Y(y)= { ( 0 ),( ? ):}{: ( se ),( se ) :}{: ( y<=0 ),( y>0 ) :} $
(Come è stato dedotto? E' sufficiente dire che il motivo è perchè il logaritmo è definito solo per valori positivi?)
Se $y$ è positivo $e^(-\lambda y)\in(0,1)$, quindi:
$ P(X>=e^(-\lambda y))=int_(e^(-\lambday))^(\infty) f_X(x) dx =int_(e^(-\lambday))^(1) 1 dx+ int_(1)^(\infty)0dx=int_(e^(-\lambday))^(1) 1 dx=[x]_(e^(-\lambday))^1=1-e^(-\lambday) $
Allora $F_Y(y)= { ( 0 ),( 1-e^(-\lambday) ):}{: ( se ),( se ) :}{: ( y<=0 ),( y>0 ) :} $ , per cui $Y~Exp(\lambda)$.
Il dubbio più grande resta dunque come determinare il supporto della trasformata.
In ogni caso spero di essere stato sufficientemente chiaro nell'esposizione di dubbi e tentativi di risoluzione
Grazie mille in anticipo a chiunque si spenderà nel darmi una mano!
