penso di avere un'idea carina.
sia $(X,d)$ uno spazio metrico connesso, $p,q in X$ e $epsilon>0$
la funzione $f:X->RR$ definita come $f(x)=d(p,x)$ è continua su uno spazio connesso, quindi $f(X)$ è un intervallo. In particolare $0, d(p,q) in f(X)$ quindi $[0,d(p,q)] subseteqf(X)$
$1.$
essendo $f(X)$ un intervallo di $RR$ è convesso e quindi contenendo $0,d(p,q)$ contiene tutto l'intervallo $[0,d(p,q)]$$2.$
ovviamente la continuità è data dal fatto che $|f(x)-f(y)|=|d(x,x_0)-d(y,x_0)|leqd(x,y)$ comunque preso $z in X$ e $epsilon>0$ se $d(x,z)<epsilon$ allora $|f(x)-f(z)|<epsilon$essendo continua in una base locale(le palette) di $z$ allora è continua in $z$. In particolare è continua per ogni $z in X$ quindi è continua.
l'intervallo è degenere sse $d(p,q)=0$ ossia sse $p=q$ e in quel caso è banale.
Supponiamo dunque che sia $pneq$
possiamo trovare una suddivisione $S={y_1=0<y_2<...<y_n=d(p,q)}$, di quell'intervallo, in modo tale che $|y_i-y_(i-1)|<epsilon/2$ per ogni $i=2,...,n$.
Stando nell'immagine esiste un sottoinsieme finito $T={x_1,...,x_n}$ di $X$ tale che $d(p,x_k)=y_k$ per ogni $k=1,...,n$
chiaramente gli $x_1,...,x_n$ sono estratti dalle fibre degli $y_1,...,y_n$ quindi possiamo prenderla in modo tale che $q=x_n$
notiamo che $d(x_i,x_(i-1))leqd(p,x_i)+d(p,x_(i-1))<epsilon/2+epsilon/2=epsilon$
in particolare
$0=y_1=d(p,x_1) => p=x_1$
mi piace molto questa soluzione, spero sia corretta.
Per il punto $b$ mi auto-rimando a domani/dopodomani che farò i compatti