Area finestra di Viviani

[atomr902]

Ciao ragazzi, ho bisogno di un aiutino per quando riguarda lo svolgimento di un integrale superficiale, che come da titolo è la finestra di Viviani, quindi la parte di superficie sferica $x^2+y^2+z^2=r^2$ interna al cilindro $x^2+y^2-rx$.
So che ci sono soluzioni in rete, ma ho cercato di fare di testa mia.

Ho optato per un completamento di quadrati per capire dove integrare: $(x^2-rx+r^2/4)+y^2=r^2/4$, dopo di che ho diviso il dominio in due considerando solo la parte con $y>=0$ e moltiplicando l'integrale per due. Ho cambiato in coordinate polari a questo punto:
${x=r/2+rhocosphi, y=rhocosphi$, con ${0<=rho<=r/2, 0<=phi<=pi$

quindi ho fatto $2rint_(0)^(pi)dphiint_(0)^(r/2) rho/sqrt(r^2-rho^2) drho$


Ora, ho notato che molte soluzioni propongono di far variare $rho$ tra $0$ e $cos/phi$, il che è giusto, ma vorrei capire: come mai il mio procedimento è errato?

[Plepp]

Perché pensi che il tuo procedimento sia errato?