salve,
ho parecchi dubbi sulla matrice jacobiana e sul differenziale
da quel che ho capito (correggetemi) una funzione è differenziabile se esiste una funzione lineare che approssima la variazione della funzione quando ci spostiamo da un punto del dominio ad un altro molto vicino, inoltre è richiesto dalla definizione che l'errore che si commette approssimando questa variazione deve essere un infinitesimo di ordine superiore alla distanza dei due punti tra cui ci siamo mossi.
ho detto qualcosa di sensato?
inoltre mi sembra di aver capito che questa funzione lineare se esiste è unica ed essa è la matrice jacobiana(che poi puo' corrispondere con il gradiente o con la derivata a seconda delle dimensioni del dominio e del codominio).
ma come si dimostra questa cosa? a lezione il prof ha semplicemente piazzato li la matrice, qualcuno potrebbe farmi una dimostrazione?
inoltre ho letto da qualche parte che se una funzione è differenziabile in un punto esiste un piano che la approssima in quel punto.
questa cosa come è legata all'interpretazione che ho precedentemente dato al differenziale? noto che nella definizione si parla di approssimazione e di linearità ma nonostante cio' non riesco a giungere a questa conclusione.
grazie mille!