Integrale triplo

[Cantor99]

Ho il seguente esercizio e vi chiedo se l'ho impostato bene

"Detta $S$ la parte di spazio compresa fra la sfera di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ e il paraboloide $z=x^2+y^2$,calcolare
$\int \int \int_{S} (x^2+y^2+z^2-sin(xy^2z)-1)dxdydz$"

Prima di tutto ho osservato che
$$$\iiint_{S} sin(xy^2z)dxdydz=0$ e quindi mi serve "solo"
$I=\int \int \int_{S} (x^2+y^2+z^2-1)dxdydz$
Il dominio $S$ è normale rispetto il piano $z=0$ e in particolare
$S={(x,y,z)\in \RR^3 : (x,y)\in D, x^2+y^2≤z≤sqrt(1-x^2-y^2)}$
dove $D$ il cerchio di raggio $\alpha=\sqrt(\frac{\sqrt(5)-1}{2})$ e centro l'origine.
Ora si dobrebbe usare qualche camnbiamento di coordinate: ho provato con quelle sferiche ma non riesco a scrivermi il trasformato di $S$. Con quelle cilindriche $(x,y,z)=(\rho sin(\theta),\rho cos(\theta),z)$ invece ho
$I=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\alpha} d\rho \int_{\rho^2}^{\sqrt(2-\rho^2)} \rho(\rho^2-1+z^2)dz$

Prima che proceda all'ultimo conto, vi trovate con me? Avreste usato un metodo alternativo (i conti si preannunciano brutti!)?
Grazie anticipatamente

[otta96]

Non mi trovo tanto con il raggio $\alpha$ che hai calcolato, come l'hai ricavato? A me torna $1$. Il resto tutto ok, le coordinate cilindriche sono senza dubbio le migliori in questo caso.

[Cantor99]

Hai ragione otta96! ero convinto che la sfera avesse raggio 1! Così facendo i conti si fanno anche un po' più semplici ...
Grazie

[pilloeffe]

Ciao Cantor99,

i conti si preannunciano brutti!

Effettivamente non sono uno spettacolo...
Non so se per caso disponi del risultato, ma se non ho fatto male i conti mi risulta una cosa del genere:

$ I=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^1 d\rho \int_{\rho^2}^{\sqrt(2-\rho^2)} \rho(\rho^2-1+z^2)dz = \frac{16\sqrt{2} - 19}{60} \pi$

[Cantor99]

Grazie per la disponibilità Pilloeffe. Facendo i conti mi esce
$I=π\frac{4\sqrt(2)-6}{15}$
ma purtoppo non so il risultato

[pilloeffe]

Grazie per la disponibilità Pilloeffe.

Prego!

Facendo i conti mi esce

Così ad occhio il risultato che hai ottenuto mi pare errato, dato che è negativo...
Adesso è tardi, ma domani se riesco posto i miei conti.

[Cantor99]

Pilloeffe ho trovato l'errore, mi ero perso un $\frac{1}{24}$,grazie ancora!