Applicazioni lineari!!

[alix12]

Buonasera, sto riscontrando molti problemi con questo esercizio. Il testo è il seguente:
SI consideri l'applicazione lineare LA:R4→R5 definita da LA (X)=AX con A= A=\begin{pmatrix} 5 & 9 & -22 & 0 \\ -1 & -2 &7 & 1 \\ 3 & 4 & -10 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -2 \end{pmatrix}.
1)Si trovi una base del Nucleo di La
2) Si trovi una base dell'immagine di La

Non so proprio come iniziare, sareste gentilissimi se mi aiutaste a capire come risolverlo. Grazie mille

[Magma]

La matrice è $4xx4$, quindi l'applicazione sarà un endomorfismo $L_A : qquad RR^4 ->RR^4$

Per il nucleo è sufficiente la definizione, mentre per l'immagine prova e vedere cosa succede calcolando $f(e_i)$ per $i=1,2,3,4$ e poi sfrutta la definizione di base.

[alix12]

Ciao! Grazie mille per la risposta. Ho utilizzato il metodo di eliminazione gaussiana. Va bene?

[Magma]

Per fare cosa?

[alix12]

ciao! L'ho utilizzato per trovare il rango della matrice, ed essendo il rango coincidente con la dimensione dell'immagine, risulta che la dimensione dell'immagine è 4. Dunque per il teorema della dimensione, Dim(KerLa)= Dim(La)- Dim(Im(La)) e dunque la base del nucleo è data dal vettore nullo. Ho sbagliato?

[Magma]

L'ho utilizzato per trovare il rango della matrice, ed essendo il rango coincidente con la dimensione dell'immagine, risulta che la dimensione dell'immagine è $4$. Dunque per il teorema della dimensione

$dim(Ker(L_A))= dim(RR^4)-dim(Im(L_A))=4-4=0$

Ottimo.

dunque la base del nucleo è data dal vettore nullo.

Per definizione, una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti. Il vettore nullo è l.i. ?

[alix12]

Sì, è vero, non ci stavo pensando. Dunque la base del nucleo è (0,0,0,0). Giusto?

[Magma]

Sì, è vero, non ci stavo pensando. Dunque la base del nucleo è (0,0,0,0). Giusto?

La base è, prima di tutto, un insieme, quindi i vettori contenuti sono racchiusi tra le parentesi graffe ${e_1,...,e_n}$.
Poi se dici che il vettore nullo $bar0$ non è l.i., perché proponi come base ${(0,0,0,0)}$: vorresti intendere che $bar0ne(0,0,0,0)$?

[alix12]

No, ma essendo il Ker(La)=0, non so definire quale sia la base del nucleo

[Magma]

Ok. Ma a rigor di logica se un insieme contenete $bar0$ è l.d. e la definizione di base richiede che l'insieme sia l.i., segue che nessun insieme contente il vettore nullo può costituire una base. La domanda può avere due risposte:

il ker non ha base (quella che ho sempre saputo essere la verità assoluta )

la base del ker è l'insieme vuoto (quella che ho scoperta su questo forum qualche settimana fa)

il tutto dipende da come è stato impostato il tuo corso.