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Sia $a$ intero positivo e $n \in \mathbb{N}$, consideriamo l'insieme $S={a^n+1, a^n+2, \cdots, (a^n+1)^n-1}$.
Ora sia $b \in S$ allora $\root[n]{b}$ non è intero, infatti si ha $a<\root[n]{b}<a+1$.
Dunque supponiamo esistano due numeri interi positivi $p,q$ tali che:
1) $p>q$
2) $p^n/q^n=b$
3) $q$ non divide $p$
Ora, $b \in S$ quindi esiste $k$ intero positivo opportuno tale che $b=a^n+k$, in particolare dalla 2) segue che $p^n/q^n=a^n+k$. D'altra parte $q$ non divide $p$ quindi esistono $s$ e $0<r<q^n$ tali che $p^n=q^ns+r$, da cui $q^n(a^n+k-s)=r$, tuttavia segue che $a^n+k-s>0$ per ipotesi su $r$, quindi $r\geq q^n$ assurdo...
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio
"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.
"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.