da Bremen000 » 14/01/2019, 23:19
Siano \( n \in \mathbb{N} \) , \( n \ge 1 \) e \( a \in \mathbb{R}^n \) fissati. Per ogni \( \delta >0 \), sia \( \mathcal{A}_{ \{a \}, \delta} \) l'insieme dei ricopririmenti al più numerabili di \( \{ a \} \) formati da insiemi di diametro strettamente minore di \( \delta \) cioè \( \{ U_i \}_{ i \in I} \in \mathcal{A}_{ \{a \}, \delta} \) se
- \( I \subseteq \mathbb{N} \)
- \( U_i \subset \mathbb{R}^n \) per ogni \( i \in I \)
- \( \{ a \} \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i \)
- \( \text{diam}(U_i) < \delta \) per ogni \( i \in I \)
Definiamo poi, per ogni \( \delta >0 \) e per ogni \( d \ge 0 \), la quantità
\[ \mathcal{H}^d_{\delta} ( \{ a \} ) := \inf \biggl \{ \sum_{ i \in I} (\text{diam}(U_i))^d \mid \{ U_i \}_{i \in I} \in \mathcal{A}_{ \{ a \}, \delta } \biggr \} \]
La definizione di \( \mathcal{H}^d( \{ a \} ) \) è
\[ \mathcal{H}^d ( \{ a \} ) = \lim_{\delta \to 0^+} \mathcal{H}_{\delta}^d ( \{ a \} ) \]
Fatto sto pippozzo per rendere chiare le definizioni (più a me che ad altri) procediamo a dimostrare che \( \mathcal{H}^0( \{ a \} ) = 1 \).
Per ogni \( \delta >0 \) si ha che
\[ \mathcal{H}^0_{\delta} ( \{ a \} ) := \inf \biggl \{ \text{card} ( \{ U_i \}_{i \in I} ) \mid \{ U_i \}_{i \in I} \in \mathcal{A}_{ \{ a \}, \delta } \biggr \} \ge 1 \]
Perché qualsiasi ricoprimento che si consideri, essendo \( \{ a \} \neq \emptyset \), esso deve possedere almeno un elemento. L' \( \inf \) è inoltre raggiunto giacché, prendendo per ogni \( \delta >0 \) il ricoprimento costituito, per esempio, dalla sola palla di raggio \( \delta/4 \) la sua cardinalità è proprio $1$.
Passando al limite per \( \delta \to 0^+ \), essendo la successione costante, si ottiene che \( \mathcal{H}^{0}( \{ a \} ) =1 \) e quindi che per ogni \( U \subset \mathbb{R}^n \) si ha \( \mathcal{H}^0( U) = \text{card}(U) \).
Nota che bisogna passare al limite per \( \delta \to 0^+ \). Se hai un generico insieme limitato \( U \) allora non è vero, come nel caso di \( \{ a \} \), che per ogni \( \delta >0 \) esiste una palla di diametro \( < \delta \), diciamo \( B_{\delta} \), tale che \( \{ B_{\delta} \} \in \mathcal{A}_{U, \delta} \).
Spero che questa ultima osservazione, unita alla (fin troppo) meticolosa dimostrazione che \( \mathcal{H}^0 \) è la misura del conteggio, chiariscano il tuo dubbio!
Per la tua seconda domanda, ovvero come si costruiscono i \( C_n \), credo che basti il seguente teorema
Teorema
Siano \(m, n \in \mathbb{N}\) , \( m, n \ge 1 \) e sia \( \{ \psi_i \}_{i=1}^m \) una famiglia di mappe
\[ \psi_i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \quad \quad x \mapsto b_i + r_i O_i x \quad \quad \forall \, \, i =1, \dots, m \]
dove \( b_i \in \mathbb{R}^n \), \( O_i \) sono matrici ortogonali e \( 0<r_i<1 \) sono numeri reali. Se esiste \( V \subset \mathbb{R}^n \) aperto e relativamente compatto tale che
1. \( i \neq j \Rightarrow \psi_i (V) \cap \psi_j(V) = \emptyset \)
2. \( \bigcup_{i=1}^m \psi_i(V) \subseteq V \)
allora esiste un unico \( K \subseteq \mathbb{R}^n \) compatto e non vuoto tale che \( \bigcup_{i=1}^m \psi_i(K) =K \) e la sua dimensione di Hausdorff è l'unica soluzione $s$ dell'equazione
\[ \sum_{i=1}^m r_i^s = 1 \]
Per esempio con questo teorema si può dimostrare esistenza e dimensione dell'insieme di Cantor classico, prendendo
\[ \psi_1 (x) = \frac{1}{3} x \quad \quad \psi_2(x) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}x \]
Allora con \( V = (0,1) \) le ipotesi del teorema valgono e si può verificare che $K$ è proprio l'insieme di Cantor. Inoltre deve essere
\[ 2 \frac{1}{3^{\text{dim}_H(K)}} = 1 \Rightarrow \text{dim}_H (K) = \frac{\log(2)}{\log(3)} \]
Io penso, ma non ho fatto i conti precisi (e lascio questo gradevole onere a te), che dato \( t >1 \) e posto \( s= 1-\frac{1}{t} \), sia sempre possibile "costruire" gli ingredienti per far funzionare il teorema.
Questo mi sembra un bel metodo intelligente. La dimostrazione del teorema citato non è neanche difficilissima e sfrutta una roba che sono quasi certo a te, otta, piace (o piacerebbe se non la conosci) cioè la convergenza di Kuratowski.
Credo anche che sia possibile, come in effetti dicevo nel post iniziale, modificare la lunghezza degli intervalli che si tolgono nella "costruzione alla Cantor" per far tornare il tutto. D'altro canto non mi viene in mente esattamente come si fa in questo momento e non ricordo dove ho gli appunti di CdV.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)