otta96 ha scritto:Ohioi ora pure le algebre si possono fare su anelli qualsiasi
Sono i
monoidi che si possono definire in una
categoria monoidale qualsiasi: se $(\mathcal C, \otimes)$ è monoidale, un
monoide interno è un oggetto $M$ tale che esistano delle mappe $m : M\otimes M\to M$ e $u : I\to M$ tali che
\[
\begin{CD}
M\otimes M\otimes M @>1\otimes m>> M\otimes M \\
@Vm\otimes 1VV @VVmV \\
M\otimes M @>>m> M
\end{CD}
\begin{CD}
I\otimes M @>u\otimes 1>> M\otimes M @<1\otimes u<< M \otimes I\\
@V\wr VV @VVmV @VV\wr V\\
M @= M @= M
\end{CD}
\] siano commutativi (si legge "$m$ è associativa, e $u$ sceglie un elemento neutro per l'operazione definita da $m$").
Se $\mathcal C$ è $k\text{-Mod}$, e $\otimes$ è il prodotto tensoriale di moduli, i monoidi interni sono esattamente le $k$-algebre. La stessa definizione ti dà la giusta nozione di algebra in luoghi vicini e lontani da $k\text{-Mod}$: per esempio, se $\mathcal C$ è la categoria degli spazi di Banach, ottieni la nozione di algebra di Banach, e la richiesta che valga $\|xy\|\le\|x\|\cdot \|y\|$ segue da come hai definito $\otimes$ e da come hai definito i morfismi di spazi di Banach.