limite con Taylor

Messaggioda cri98 » 08/01/2019, 18:15

salve ragazzi.
dato il limite:
$ lim_(x -> 0) (e^(sin^2x)-cos(x))/(1-cos^2(x)) $
pensavo di svolgerlo utilizzano gli sviluppi di Taylor:

$ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $

$ e^(sin^2x)=1+sin^2x+(sin^2x)^2/2+(sin^2x)^3/6 $

$ cos(x)=1-x^2/2+x^4/24 $

$ cos^2(x)=1-x^4/2+x^8/24 $

sostituisco con gli sviluppi all'intero dell'limite:
$ lim_(x -> 0) (1+x+x^2/2+o(x^2)-1-x^2/2+o(x^2))/(1-1-x^4/2) $

l'impostazione e gli sviluppi sono corretti?
come vado avanti?

Grazie!
cri98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 162 di 286
Iscritto il: 30/04/2018, 17:18

Re: limite con Taylor

Messaggioda Anacleto13 » 08/01/2019, 19:55

L’ordine sotto é diverso da quello sopra
Avatar utente
Anacleto13
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 269 di 298
Iscritto il: 20/03/2017, 20:20
Località: Den Haag

Re: limite con Taylor

Messaggioda pilloeffe » 08/01/2019, 20:26

Ciao cri98,

Mah, usare gli sviluppi in serie per risolvere un limite del genere è un po' come sparare ad un canarino con un cannone da 406: indubbiamente lo fai secco, ma basta decisamente molto meno... :wink:
Infatti si vede quasi subito che si ha:

$\lim_{x \to 0} (e^(sin^2x)-cos x)/(1-cos^2x) = \lim_{x \to 0} (e^(sin^2x)-cos x)/(sin^2x) = \lim_{x \to 0} (e^(sin^2x) - 1 + 1 - cos x)/(sin^2x) = 3/2 $
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2352 di 3125
Iscritto il: 07/02/2017, 16:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: limite con Taylor

Messaggioda Obidream » 08/01/2019, 21:10

cri98 ha scritto:salve ragazzi.
dato il limite:
$ lim_(x -> 0) (e^(sin^2x)-cos(x))/(1-cos^2(x)) $
pensavo di svolgerlo utilizzano gli sviluppi di Taylor:

$ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $

$ e^(sin^2x)=1+sin^2x+(sin^2x)^2/2+(sin^2x)^3/6 $

$ cos(x)=1-x^2/2+x^4/24 $

$ cos^2(x)=1-x^4/2+x^8/24 $

sostituisco con gli sviluppi all'intero dell'limite:
$ lim_(x -> 0) (1+x+x^2/2+o(x^2)-1-x^2/2+o(x^2))/(1-1-x^4/2) $

l'impostazione e gli sviluppi sono corretti?
come vado avanti?

Grazie!

Al di là del limite, alcuni sviluppi sono sbagliati, per $x->0$ si ha:

$e^(sin^2(x)) = e^(x^2+o(x^2)) = 1+x^2+o(x^2)$

$cos^2(x) = (1-x^2/2+o(x^2))^2 = 1-x^2+o(x^2)$
((v & 0xff) && (v & 0xff00) && (v & 0xff0000) && (v & 0xff000000))
Avatar utente
Obidream
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 985 di 1067
Iscritto il: 07/02/2012, 21:57

Re: limite con Taylor

Messaggioda cri98 » 09/01/2019, 19:03

pilloeffe ha scritto:Ciao cri98,

Mah, usare gli sviluppi in serie per risolvere un limite del genere è un po' come sparare ad un canarino con un cannone da 406: indubbiamente lo fai secco, ma basta decisamente molto meno... :wink:
Infatti si vede quasi subito che si ha:

$\lim_{x \to 0} (e^(sin^2x)-cos x)/(1-cos^2x) = \lim_{x \to 0} (e^(sin^2x)-cos x)/(sin^2x) = \lim_{x \to 0} (e^(sin^2x) - 1 + 1 - cos x)/(sin^2x) = 3/2 $


Grazie pilloeffe per la risposta, ho utilizzato il tuo suggerimento e tutto torna. :smt023 :smt023

Obidream ha scritto:Al di là del limite, alcuni sviluppi sono sbagliati, per $ x->0 $ si ha:

$ e^(sin^2(x)) = e^(x^2+o(x^2)) = 1+x^2+o(x^2) $

$ cos^2(x) = (1-x^2/2+o(x^2))^2 = 1-x^2+o(x^2) $


Grazie Obidream per la risposta
per gli sviluppi di taylor ho capito dove ho sbagliato.
se voglio continuare con Taylor come vado avanti?
Grazie :smt023
cri98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 163 di 286
Iscritto il: 30/04/2018, 17:18

Re: limite con Taylor

Messaggioda Obidream » 11/01/2019, 02:08

Io posso anche farti vedere i passaggi, però non è il massimo come cosa, dovresti provarci tu:

$lim_(x->0) (e^(sin^2(x))-cos(x))/(1-cos^2(x))$

Considerando gli sviluppi scritti sopra:

$lim_(x->0) ((1+x^2+o(x^2))-(1-x^2/2+o(x^2)))/(1-(1-x^2+o(x^2))$

$lim_(x->0) (3/2x^2+o(x^2))/(x^2+o(x^2))$

$lim_(x->0) (x^2(3/2+o(1)))/(x^2(1+o(1))) = 3/2$

L'esercizio non è difficile però dovresti provare a fare per bene i conti e capire perché il $cos^2(x)$ ha quello sviluppo e non ciò che hai scritto tu prima ( che in realtà è quello di $cos(x^2)$, da qui l'errore)
((v & 0xff) && (v & 0xff00) && (v & 0xff0000) && (v & 0xff000000))
Avatar utente
Obidream
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 989 di 1067
Iscritto il: 07/02/2012, 21:57

Re: limite con Taylor

Messaggioda cri98 » 11/01/2019, 15:36

Obidream ha scritto:Io posso anche farti vedere i passaggi, però non è il massimo come cosa, dovresti provarci tu:

$ lim_(x->0) (e^(sin^2(x))-cos(x))/(1-cos^2(x)) $

Considerando gli sviluppi scritti sopra:

$ lim_(x->0) ((1+x^2+o(x^2))-(1-x^2/2+o(x^2)))/(1-(1-x^2+o(x^2)) $

$ lim_(x->0) (3/2x^2+o(x^2))/(x^2+o(x^2)) $

$ lim_(x->0) (x^2(3/2+o(1)))/(x^2(1+o(1))) = 3/2 $

L'esercizio non è difficile però dovresti provare a fare per bene i conti e capire perché il $ cos^2(x) $ ha quello sviluppo e non ciò che hai scritto tu prima ( che in realtà è quello di $ cos(x^2) $, da qui l'errore)


perfetto Obidrem lo svolgimento dell'esercizio lo considero come guida per capire quando vado a svolgerlo nuovamente dove sto errando.
Grazie mille :smt023 :smt023
cri98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 167 di 286
Iscritto il: 30/04/2018, 17:18

Re: limite con Taylor

Messaggioda cri98 » 11/01/2019, 16:50

Obidream ha scritto:
cri98 ha scritto:
$ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $

$ e^(sin^2x)=1+sin^2x+(sin^2x)^2/2+(sin^2x)^3/6 $


$ e^(sin^2(x)) = e^(x^2+o(x^2)) = 1+x^2+o(x^2) $




come hai fatto a svilupparlo?

Grazie! :smt023
cri98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 168 di 286
Iscritto il: 30/04/2018, 17:18

Re: limite con Taylor

Messaggioda Obidream » 11/01/2019, 17:07

Beh, innanzitutto è inutile sviluppare tutta quella roba, è sufficiente fermarti a:

$e^(sin^2(x)) = 1 + sin^2(x) + o(sin^2(x))$

Sviluppando anche il seno:

$1 + (x+o(x))^2+o(x^2+o(x^2))$

$1+x^2+2*o(x^2)+o(x^2)+o(x^2) = 1 + x^2 + o(x^2)$

Ti basta fermarti al secondo ordine perché hai una roba del tipo:

$e^x-cos(x)$ e se sviluppi solo al primo hai: $1+o(x)-1+o(x) = o(x)$, quindi devi passare all'ordine successivo.
((v & 0xff) && (v & 0xff00) && (v & 0xff0000) && (v & 0xff000000))
Avatar utente
Obidream
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 990 di 1067
Iscritto il: 07/02/2012, 21:57

Re: limite con Taylor

Messaggioda cri98 » 11/01/2019, 17:26

perfetto Obidream,
adesso mi è tutto chiaro.

Grazie :smt023 :smt023
cri98
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 170 di 286
Iscritto il: 30/04/2018, 17:18


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: pilloeffe e 58 ospiti