Test Score di Rao

Messaggioda Drago98 » 11/01/2019, 03:19

Salve, vorrei capire se lo svolgimento di questo esercizio è giusto:

Sia X1,X2,...Xn un campione casuale estratto da una v.c. di Poisson con funzione di probabilità

$ f(lambda ,y)= lambda ^x/(x!)e^-lambda $

(a) Si ricavi lo stimatore di massima verosimiglianza per λ.
(b) Si ricavi il test Score per saggiare, ad un livello fissato pari a 0.05, il seguente sistema di ipotesi:
$ { ( H0:\lamda=lamda0 ),( H1:\lambda!= \lambda0 ):} $
(c) Si ricavi un intervallo di confidenza asintotico per il coefficiente di variazione della v.c. del punto 1. al livello 1−α.
La mia soluzione è la seguente:
$ A) $ Trovo la verosimiglianza della funzione e successivamente calcolo la logverosimiglianza: $ logv(\theta,y)=sumy*log(\lamda)-n\lamda-sumlogyi! $ .
Successivamente calcolo la statistica score: $ U(\theta,y)=y/\theta-n $ da cui, ponendo a 0 la funzione score, ottengo lo stimatore di maxv: $ \theta^(^MV)=(sum(y))/n $ .
Fino a qui tutto molto semplice, ora arriva la parte su cui sono insicuro.
$ B) $ Per calcolare la funzione score ho effettuato il rapporto tra la statistica score al quadrato ($ U(\theta,y)=((sumy)/lamda-n)^2 $)e l'informazione attesa di Fisher( $ -E[(partial^2 l)/(partial \theta^2) ]=-E[-(sumyi)/(\theta^2)]=\theta/\theta^2=1/\theta $ ); dunque $ U(\theta,y)^2/(I(\theta)) $
Tale risultato avrà convergerà asintoticamente ad una chi-quadro con n-1 gradi di libertà.
Infine troviamo il quantile corrispondente al nostro livello di confidenza e da qui verifichiamo se la statistica score ottenuta è compresa nell'intervallo d'accettazione: Se la risposta è si, accettiamo Ho, sennò rifiutiamo.
$ 3) $ Francamente penso sia un errore del testo.
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Re: Test Score di Rao

Messaggioda tommik » 11/01/2019, 07:24

Drago98 ha scritto:$ 3) $ Francamente penso sia un errore del testo.


In che senso un errore?
Drago98 ha scritto:(c) Si ricavi un intervallo di confidenza asintotico per il coefficiente di variazione della v.c. del punto 1. al livello 1−α.


se per 3) intendi il punto c) della traccia mi pare chiaro e di semplice soluzione:

Il coefficiente di variazione è $sigma/mu=sqrt(lambda)/lambda=1/sqrt(lambda)$


tale coefficiente è una funzione monotona del parametro, quindi.....

Il resto dell'esercizio va più o meno bene1 ma la statistica che hai calcolato converge in distribuzione, sotto $mathcal(H)_0$, ad una chi quadro con 1 gdl e non con $(n-1)$ come hai detto tu.
Inoltre l'informazione attesa di fischer verrà $n/lambda$, ovviamente, dato che $Sigma_i Y_i~ Po(nlambda)$

(infine occorrerebbe specificare di trovare un test asintotico, anche perché provare quel sistema di ipotesi con un test esatto lo vedo complicato)

Note

  1. a volte scrivi $lambda$ a volte $theta$, il significato è chiaro ma fai attenzione che chi legge poi non capisce più nulla
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Test Score di Rao

Messaggioda tommik » 11/01/2019, 12:07

Per quanto riguarda l'intervallo di confidenza asintotico della poisson, pur essendo semplice, capisco che non sia una richiesta molto standard, quindi ti indico come fare:

A) calcoli l'intervallo di confidenza per $lambda$

a tal proposito osservi che puoi utilizzare la seguente quantità pivotale:

$(bar(X)-lambda)/sqrt(lambda/n)$

a questo punto hai due strade percorribili

A1) stimare la deviazione standard della media (procedura consigliata) con $sqrt(bar(X)/n)$ e trovare immediatamente un intervallo di confidenza a livello $(1-alpha)$ del tipo1

$bar(X)+-z_(alpha/2)sqrt(bar(X)/n)$


A2) risolvere in $lambda$ le disuguaglianze

$-z_(alpha/2)<(bar(X)-lambda)/sqrt(lambda/n)<z_(alpha/2$

che, con semplici passaggi algebrici, portano a trovare il seguente intervallo di confidenza per $lambda$ a livello $(1-alpha)$

$bar(X)+(z_(alpha/2)^2)/(2n)+-sqrt(((z_(alpha/2)^2)/(2n))^2+bar(X)(z_(alpha/2)^2)/(n))$


B) trovato l'intervallo di confidenza per $lambda$ facilmente ricavi quello per una sua funzione monotona...

Note

  1. ovviamente ho indicato $mathbb{P}[Z>z_alpha]=alpha$
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Re: Test Score di Rao

Messaggioda Drago98 » 11/01/2019, 14:50

Si, ieri ho fatto nottata con i libri (come si vede anche dall'orario del post) e in effetti gli errori di distrazione si vedono ahah.
Comunque, dato che è una funzione monotona, possiamo usare anche il test del rapporto verosimiglianza semplice?
Così da approssimare il risultato ottenuto attraverso una chi quadro con 1 grado di libertà e verificare, attraverso il confronto tra il valore ottenuto col TRV e il quantile corrispondente al nostro $alpha$ , il seguente sistema d'ipotesi: $ { ( H0:lambda=lamda0 ),( H1:lamda!= lamda0 ):} $ ?
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