Ho un problema nella comprensione di una dimostrazione proposta dal testo che sto seguendo: V. Zorich - Mathematical Analysis I.
Il teorema in questione è quello che legittima la formula di Taylor in forma locale, ed è il seguente:
Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).
La dimostrazione che il testo propone è per induzione e la riassumo io di seguito.
Sia $$\mathcal{A}=\{ n\in\mathbb{N} | \phi (x_0)=\phi '(x_0)=...=\phi ^{(n)}(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per} \; E\ni x \to x_0 \} $$
e occorre dimostrare che \(\displaystyle \mathcal{A}=\mathbb{N} \).
\(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=0 \Rightarrow \phi(x)=\phi(x)-\phi(x_0)=\phi '(x_0)(x-x_0)+\mathcal{o}(x-x_0)=\mathcal{o}(x-x_0) \Rightarrow 1\in\mathcal{A} \).
Poi:
se \(\displaystyle n\in\mathcal{A} \) allora \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per}\; E\ni x\to x_0 \). Devo verificare che in questa situazione anche \(\displaystyle n+1 \in \mathcal{A} \).
Siccome per ipotesi siamo nel caso in cui \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=...=\phi ^{(n)}(x_0)=\phi ^{(n+1)}(x_0)=0 \) allora esiste almeno \(\displaystyle \phi ^{(2)}(x_0) \), dunque \(\displaystyle x_0 \) deve essere ancora di accumulazione anche per \(\displaystyle E' \), dove ho indicato con \(\displaystyle E'\subset E \) l'insieme dei punti di \(\displaystyle E \) in cui \(\displaystyle \phi '(x) \) esiste.
Dunque ha senso poter affermare che per ipotesi induttiva:
\(\displaystyle \phi '(x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per} \; E'\ni x \to x_0 \)
A questo punto per concludere il testo utilizza il teorema di Lagrange su \(\displaystyle \phi '(x) \), affermando che \(\displaystyle \exists \xi \) tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle x_0 \) tale che:
\(\displaystyle \phi (x) = \phi (x) -\phi (x_0)=\phi (\xi )(x-x_0) \)
che secondo me non va bene in quanto non si sa se \(\displaystyle \phi '(x) \) sia effettivamente ancora definita su un intervallo chiuso, quindi tantomeno non si può sapere se sono verificate le ipotesi di continuità e derivabilità richieste per l'applicazione del teorema di Lagrange.
Mi sono perso qualcosa o si devono veramente allargare un pò le ipotesi iniziali?