Ianero ha scritto:"intorno ad".
Giusto... D’altra parte, se un testo non si prende la briga di definire cristianamente cos'è un intervallo, perché il lettore dovrebbe sapere cosa significa “intorno ad un punto”?
Dire che una certa proprietà è soddisfatta “intorno ad $x_0$” (o “definitivamente intorno ad $x_0$”) significa affermare che esiste un intorno di tal punto, i.e. un intervallo aperto (o anche chiuso o semiaperto, basta che contenga almeno un paio di punti distinti) cui $x_0$ appartiene, nei punti del quale la certa proprietà è soddisfatta.
Dunque “$f$ è derivabile $n-1$ volte intorno ad $x_0$” significa che esiste un intervallo $(x_0 - delta , x_0+delta)$ in cui $f$ è derivabile $n-1$ volte.
Affinché $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ c'è bisogno che essa sia derivabile $n-1$ volte in tutto un intorno di $x_0$; intorno che nel caso dello Zorich è un intervallo del tipo $(x_0-delta, x_0] subset (a,x_0]$, mentre nei miei enunciati è un intorno completo $(x_0-delta , x_0+delta)$.
Ianero ha scritto:Se puoi, mi sarebbe molto utile sapere con certezza che:
\[ \lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
non è possibile chiamarla derivata seconda di $f$ in $0$, mentre invece:
\[ \lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
sì.
Ovvio.
Il primo limite non è la derivata di alcunché.
Tanto per fare un esempio, sai che
1 la funzione $ f(x) := \{ (x sin (1/x), text(, se ) x!=0 ), ( 0, text(, altrimenti) ) :}$ non è derivabile in $0$; tuttavia il limite del rapporto incrementale in $0$ fatto lungo i punti della successione $A:=\{ x_n\}$ con $x_n = 1/(pi n)$ esiste e anzi risulta:
\[
\lim_{A\ni x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_n \sin \pi n = 0\; .
\]
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)