narra ha scritto:si certo sei stato molto chiaro. comunque la cosa che mi lascia perprlesso è per quale motivo io non abbia avuto gli strumenti per capirlo da solo. Secondo voi? capisco che è una domanda strana però vorrei capire cosa ripassare, cosa mi sono perso, quale meccanismo non ho colto a lezione.
È già la domanda “cosa mi devo ripassare per capire questo e quello?” ad essere sbagliata.
Non si tratta di “ripassare” qualcosa, quanto piuttosto di cominciare a pensare alla Matematica in modo diverso da come fai ora.
Questa domanda:
narra ha scritto:Qui è il mio dubbio, ma se a e b sono gia al quadrato non possono semplificare loro con radice quadrata senza elevare ulteriormente tutto al quadrato?
esprime la legittima curiosità di uno studente alle prime armi che apprende e che ha voglia di capire le cose, capire perché vanno in un certo modo e non in un altro (che casomai è intuitivamente più semplice). È una cosa bella che tu te lo sia chiesto: la maturità di uno studente si misura anche dalle domande che si fa, non solo dalle risposte che dà agli altri. E la maturità cresce (esponenzialmente, vorrei dire) quando cerchi di rispondere autonomamente alle domande che ti poni.
Dunque, quando hai un dubbio (il che è una cosa legittima, sempre), cerca innanzitutto di risponderti da solo, ragionando per convincerti della bontà di un’intuizione o della sua fallacia.
Ragionamenti del genere poggiano anzitutto sull’uso di esempi (numerici, grafici, reali, etc...): un buon esempio in cui una tua affermazione (ad esempio $sqrt(a^2 + b^2) = a+ b$)
1 non funziona ti aiuta a capire che essa è, in generale,
falsa senza possibilità di appello.
Per questo, appena senti che qualcosa che hai intuito “ti puzza”, mettiti alla ricerca di un esempio che ti dimostri che essa è falsa.
Esercizio: che mi dici dell’uguaglianza $|x + y| = |x| + |y|$? Come ti sembra?
Perché?
Viceversa, numerosi esempi, anche molto diversi, in cui la tua affermazione funziona costituiscono solamente
indizi del fatto che essa potrebbe essere, in generale,vera.
Tuttavia, come si usa dire, “molti indizi non costituiscono una prova”... Questa verità in campo giuridico è tanto più vera in Matematica.
Esempio: consideriamo le prime potenze di $11$ e scriviamole in uno schema:
\[
\begin{matrix} 11^0 &= & 1 \\
11^1 &= & 1\ 1\\
11^2 &= & 1\ 2\ 1\\
11^3 &= & 1\ 3\ 3\ 1 \\
11^4 &= & 1\ 4\ 6\ 4\ 1 \end{matrix}
\]
Guardando bene i numeri a destra possiamo vedere che le cifre hanno la stessa struttura del
triangolo di Tartaglia che si usa per calcolare i coefficienti delle potenze del binomio...
Quindi siamo portati a
congetturare2 che le potenze di $11$ si calcolino
sempre sfruttando il
triangolo.
Se questa congettura fosse vera, avremmo l’uguaglianza:
\[
11^5 = 1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1\ldots
\]
Tuttavia, con l’uso di una calcolatrice (o anche a mano) si vede che quello a destra non è affatto il risultato corretto della potenza, poiché sul display (o sul foglio) compare il risultato:
\[ 11^5 = 161051\; .\]
Quindi i cinque indizi dello schema iniziale non sono bastati a fornire una prova della “regola generale” espressa dalla nostra congettura.
Dunque, anche una volta che hai raccolto numerosi indizi tutti favorevoli, ti può rimanere il dubbio che la proprietà che stai studiando sia comunque
falsa... L’unico modo che hai per sciogliere questo dubbio è fare ciò che i Matematici fanno usualmente: trovare una
dimostrazione della tua proprietà.
Dopotutto, una dimostrazione non è altro che questo: una “bolla di accompagnamento” che illustra a chiunque si imbatta nella proprietà studiata (e conosca un po’ di Matematica!) che essa è
vera, poiché segue
logicamente da fatti già acclarati (che possono esssere proprietà già dimostrate o anche postulati -che si assumono veri “a priori”, cioè intuitivamente- oppure definizioni).
La più basilare forma di dimostrazione, che si insegna fin dalle scuole elementari (ma senza dirlo, perché altrimenti i pedagoghi si scandalizzano!
), è il
calcolo esplicito, seguita a ruota dalla
verifica di un risultato (fatta usando una definizione).
Esempio: Dimostriamo che $11^2 = 121$ e che $27-16 = 11$.
Per il primo fatto, basta svolgere le operazioni con un calcolo esplicito o “in colonna” o aiutandosi con le proprietà delle operazioni aritmetiche: scegliendo questa seconda strada
3, otteniamo:
\[
\begin{matrix} 11^2 &= &11\cdot 11 &\text{definizione di quadrato} \\
&= & (10 + 1) \cdot 11 &\text{definizione di $11$}\\
&= & 10\cdot 11 + 1\cdot 11 &\text{proprietà distributiva del prodotto}\\
&= & 10\cdot ( 10 + 1) + 1\cdot (10 + 1) &\text{definizione di $11$}\\
&= & 10\cdot 10 + 10\cdot 1 + 1\cdot 10+ 1\cdot 1 &\text{proprietà distributiva del prodotto}\\
&= & 10\cdot 10 + 1\cdot 10 + 1\cdot 10+ 1\cdot 1 &\text{proprietà commutativa del prodotto}\\
&= & 10^2 + (1+1)\cdot 10 + 1 &\text{definizione di potenza e proprietà distributiva “al contrario”}\\
&= & 10^2 + 2\cdot 10 + 1 & \text{definizione di $2$}\\
&= & 1\cdot 10^2 + 2\cdot 10 + 1 & \text{$1$ è elemento neutro rispetto al prodotto}\\
\end{matrix}
\]
da cui segue che $11^2$ è il numero con $1$, $2$ ed $1$ come cifre, rispettivamente, di centinaia, decine ed unità, cioè che $11^2=121$.
Invece, per dimostrare che $27-16=11$ possiamo usare la definizione di “differenza”: la differenza tra due numeri (minuendo e sottraendo) è l’unico numero che sommato al secondo (sottraendo) dà come risultato il primo (minuendo).
Dunque, per dimostrare che $11$ è effettivamente la differenza di $27$ e $16$ basta calcolare $16+11$ esplicitamente e controllare se il risultato è proprio $27$, cioè occorre “fare la verifica”.
Ma è evidente (calcolo “in colonna”) che $16+11=27$, quindi tutto OK.
Questo continua ad esser vero anche dopo le scuole elementari, solo che i metodi di calcolo si affinano e diventano più astratti (calcolo letterale, calcolo combinatorio, calcolo proposizionale, calcolo infinitesimale/differenziale/integrale, etc...) e quindi più potenti.
Esercizio: dimostrare che vale il prodotto notevole:
\[
(x^2 + 2xy + 2y^4)(x^2-2xy+2y^2) = x^4 + 4y^4
\]
(noto come identità di Sophie Germain).
Esercizio: dimostrare che $sqrt(x^2 + y^2) < x + y$ per $x,y >0$.
Morale della favola: non smettere di essere curioso e coltiva bene la tua curiosità: è l’unico modo che hai per crescere.
narra ha scritto:Perché i professori lo danno per scontato?
Generalizzi a casaccio, cosa che un Matematico non fa mai.
Io, ad esempio, cerco di non farlo mai (dare per scontato, ma anche generalizzare...).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)