Radice derivata seconda per funzioni limitate $\in \mathcal{C}^{(2)}$

[Silent]

Per me l'ipotesi assurda deve essere la seguente.

Per qualsiasi \(\displaystyle \alpha \) che scelgo riesco sempre a trovare una $f$ con queste caratteristiche:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
f\in\mathcal{C}^{(2)}(-1,1)
\\ \sup_{x\in (-1,1)}|f(x)|\leq 1
\\ |f(0)|>\alpha
\\ f'' \text{ senza radici in }(-1,1)

\end{matrix}\right. \)

Sbaglio?

Se è giusta, ora devo far vedere che ciò non è possibile, e lo faccio vedere trovando un \(\displaystyle \alpha \) e violando una delle caratteristiche elencate per $f$, in particolare quella sul \(\displaystyle \sup \).
Non è questo ciò che ho fatto in [1]?

Ti ringrazio.

[Silent]

Faccio una correzione al mio procedimento, dopo aver riflettuto di più sulle parole di @gugo82.
Era il finale della dimostrazione in [1] ad avere qualche problema, riscrivo la dimostrazione qui per intero con le correzioni che credo necessiti.
Dunque, supponiamo per assurdo che:

\(\displaystyle \forall \alpha >0 \; \exists f_{\alpha}: (-1,1)\to \mathbb{R} \) tale che \( \displaystyle \left\{\begin{matrix} f_{\alpha}\in\mathcal{C}^{(2)}(-1,1) \\ \sup_{x\in (-1,1)}|f_{\alpha}(x)|\leq 1 \\ |f_{\alpha}(0)|>\alpha \\ f_{\alpha}'' \text{ senza radici in }(-1,1) \end{matrix}\right. \).

Dunque, la fantomatica $f_{\alpha}$, qualunque essa sia, verifica le ipotesi per poterla scrivere come:

\(\displaystyle f_{\alpha}(x)=f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x+\frac{f_{\alpha}''(\xi)}{2}x^2 \)

per ogni \(\displaystyle x \in (-1,1) \) e con \(\displaystyle |\xi |<|x| \).

Quindi, poiché \(\displaystyle f_{\alpha}'' \) non ha radici ma è continua, essa o è sempre positiva o sempre negativa, e allora se per esempio fosse sempre positiva si avrebbe:

\(\displaystyle f_{\alpha}(x)=f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x+\frac{f_{\alpha}''(\xi)}{2}x^2 \geq f_{\alpha}(0)+f_{\alpha}'(0)x \geq f_{\alpha}(0) + \alpha |x| \)

per ogni \(\displaystyle x \in (-1,1) \).

In particolare:

\(\displaystyle f_{\alpha}\left(\frac{1}{2}\right) \geq f_{\alpha}(0) + \frac{\alpha}{2} \geq -1+ \frac{\alpha}{2} \)

che deve essere vero per ogni \(\displaystyle \alpha \) (e quindi qualunque sia la \(\displaystyle f_{\alpha} \) di turno).
Ciò è assurdo se si sceglie un \(\displaystyle \alpha \) abbastanza grande.
Il caso in cui \(\displaystyle f_{\alpha}'' \) sia sempre negativa è completamente analogo.

Ti sembra un ragionamento corretto così?