Allora, vediamo di formalizzare il problema.
In primis, un disegno che non fa mai male:
Detto $ABCD$ il nostro rettangolo, il problema si può riassumere come segue:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) \\ \text{sotto condizioni} &\qquad AB+BC+CD = l\end{split} \right.
\]
in cui ho ipotizzato che $\overline(DA)$ sia il lato adiacente al muro ed $l>0$ è la lunghezza della recinzione che si vuole realizzare (nel caso in esame $l=1$, ma lo lascio così come parametro).
Questo modello non è ancora un modello matematico (non ci sono funzioni, non ci sono variabili, etc...), ma fornisce un’indicazione sintetica su cosa si debba fare.
Matematizziamo il tutto.
Innanzitutto, ci serve individuare le variabili su cui vogliamo lavorare. Dato che dalle scuole (elementari) è noto che l’area del rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze di due lati consecutivi, sembra conveniente scegliere $AB=h$ è $BC=b$ come variabili: infatti, visto anche che $overline(CD) cong overline(AB)$, abbiamo $CD = h$ e perciò il problema iniziale si può scrivere:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = bh \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+b = l\end{split} \right. \;.
\]
Questo modello non è ancora completo, in quanto non abbiamo specificato in quale insieme debbano “vivere” le variabili, i.e. il dominio.
Vista la natura delle variabili, che rappresentano lunghezze di lati di rettangoli non degeneri, è abbastanza naturale pensare che esse assumano solo valori positivi; ergo possiamo migliorare il modello come segue:
\[\tag{*}
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = bh \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+b = l \\ &\qquad b, h > 0 \end{split} \right.
\]
e scriverlo in forma analitica standard:
\[\tag{A}
\sup \Big\{ bh,\ \text{con } b,h > 0 \text{ e } b+2h = l\Big\}\;.
\]
Questo è un tipico problema di estremo vincolato in due variabili, in cui i
vincoli “$b,h>0$” e “$b+2h=l$” individuano la
regione ammissibile del problema, cioè il luogo dei punti del piano in cui il problema e la ricerca delle sue soluzioni hanno senso; la funzione $A(b,h) = bh$ di cui vogliamo trovare l’estremo è detta
funzione obiettivo.
Osserviamo esplicitamente che il verbo “massimizzare” è stato tradotto con “\(\sup\)” e non con “$max$”: questo non è un vezzo, ma esprime il fatto che non è possibile “a priori” supporre che il massimo esista, poiché non è certo che la funzione obiettivo assuma nella regione ammissibile un valore più grande di tutti quelli possibili.
L’Analisi mette a disposizione tecniche standard per risolvere problemi di estremo vincolato in più variabili, ma usualmente esse vengono illustrate nei corsi di Analisi II.
Tuttavia questo problema (come tutti quelli in cui è presente un vincolo d’uguaglianza facilmente manipolabile) si può ulteriormente riscrivere come problema di estremo vincolato in una sola variabile.
Per fare ciò, osserviamo che il vincolo $b+2h=l$ fornisce un modo per esprimere, ad esempio, la variabile $b$ in funzione di $h$: infatti, “risolvendo” l’equazione del vincolo rispetto a $b$ si trova $b=l-2h$.
Conseguentemente, si può sostituire $b=l-2h$ ovunque nel problema (*) ottenendo:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = (l-2h)h \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+(l-2h) = l \\ &\qquad l-2h, h > 0 \end{split} \right.
\]
in cui osserviamo la presenza di un vincolo “inutile” $2h+(l-2h)=l$, che può essere eliminato senza pregiudicare la validità del modello, e di un vincolo $l-2h>0$ che può essere esplicitato rispetto alla variabile $h$; in tal modo otteniamo:
\[\tag{**}
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = (l-2h)h \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 0 < h < \frac{l}{2} \end{split} \right.
\]
che possiamo scrivere in forma analitica standard:
\[\tag{B}
\sup \left\{ lh - 2h^2 ,\ \text{con } 0 < h < \frac{l}{2} \right\}\;.
\]
Il problema (B) è un classico problema di estremo vincolato per una funzione di una variabile reale e chiede di determinare l’estremo superiore della funzione obiettivo $A(h) = lh - 2 h^2$ nell’intervallo aperto $]0,l/2[$.
Questo problema si risolve coi classici metodi del Calcolo Differenziale (studio del segno della derivata prima) o con strumenti meno sofisticati
1: quindi il valore di $h$ in cui $A(h)$ prende massimo in $]0,l/2[$ è $h^** = l/4$ ed il massimo della funzione obiettivo è dato da $A^** = A(h^**) = l^2/8$.
Quella ottenuta è la soluzione di (B) ma non quella di (A); per ottenere la soluzione di (A) basta determinare il valore ottimale $b^**$ corrispondente al valore ottimale $h^**$, che è $b^** = l/2$.
Infine, possiamo affermare che esiste un unico rettangolo con le caratteristiche assegnate che consente, con una recinzione di lunghezza $l$ su tre lati, di racchiudere la massima area possibile: esso è quello con lato $overline(BC)$ di lunghezza $b^** = l/2$ e lati $overline(AB) cong overline(CD)$ di lunghezza $h^** = l/4$.
L’area racchiusa è $A^** = l^2/8$.
Lascio a te fare considerazioni circa il problema di minimo.
Come lo esprimeresti in forma Matematica?
Come lo risolveresti?
La soluzione esiste?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
